คณิตศาสตร์ ม.ต้น

เลขยกกำลัง สรุปครบ สมบัติ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ และการแก้สมการ

สรุปเลขยกกำลังครบในบทความเดียว นิยาม สมบัติทุกข้อพร้อมภาพที่เลื่อนเล่นได้ เลขชี้กำลังศูนย์และติดลบ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ การเปรียบเทียบ และการแก้สมการเลขยกกำลัง พร้อมตัวอย่างและแบบฝึกหัด

เลขยกกำลังเป็นบทพื้นฐานที่ต้องใช้ต่อเกือบทุกบท ตั้งแต่ ม.ต้น ไปจนถึงข้อสอบเข้า ม.4 และ ม.ปลาย บทความนี้พี่จะพาไล่ตั้งแต่นิยาม สมบัติของเลขยกกำลังทีละข้อพร้อมภาพที่เลื่อนเล่นได้ เลขชี้กำลังเป็นศูนย์และจำนวนเต็มลบ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ การเปรียบเทียบ จนถึงการแก้สมการเลขยกกำลัง

เลขยกกำลังคืออะไร

เลขยกกำลังคือการเขียนย่อของ "การคูณตัวเดิมซ้ำ ๆ"

a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ ตัว}}

เรียก $a$ ว่า เลขฐาน
เรียก $n$ ว่า เลขชี้กำลัง บอกว่าเลขฐานคูณกันกี่ตัว

เช่น $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ และ $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

ระวังวงเล็บ

$(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16$ แต่ $-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$ เพราะเลขชี้กำลังเกาะแค่เลข $2$
$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ แต่ $\frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$
ฐานติดลบ: ยกกำลังคู่ได้ค่าบวก ยกกำลังคี่ได้ค่าลบ เช่น $(-3)^2 = 9$ แต่ $(-3)^3 = -27$

สมบัติของเลขยกกำลัง

ทุกสมบัติมาจากนิยามข้อเดียว คือ "นับว่าเลขฐานคูณกันกี่ตัว" ในภาพด้านล่าง แต่ละก้อนคือตัวคูณหนึ่งตัว ลองเลื่อน $m$ กับ $n$ แล้วนับตาม

การคูณเลขยกกำลังที่ฐานเท่ากัน

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

$a^m$ มี $a$ อยู่ $m$ ตัว คูณกับ $a^n$ ที่มี $a$ อยู่ $n$ ตัว รวมเป็น $m + n$ ตัว

a^{3}

a

a

a

\times

a^{4}

a

a

a

a

=

a^{7}

a

a

a

a

a

a

a

m = 3

n = 4

นับตัวคูณ $\displaystyle 3 + 4 = 7 \text{ ตัว}$
สรุป $\displaystyle a^{3} \cdot a^{4} = a^{3+4} = a^{7}$

ก้อนสีน้ำเงินมาจาก

a^m

ก้อนสีส้มมาจาก

a^n

รวมกันแล้วนับได้

m + n

ก้อน

การหารเลขยกกำลังที่ฐานเท่ากัน

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \ne 0)

ตัวคูณบนกับล่างที่เหมือนกันตัดกันได้ทีละคู่ เหลือ $m - n$ ตัว ลองเลื่อนให้ $n$ มากกว่า $m$ แล้วดูว่าเหลืออะไร

a^{5}

a

a

a

a

a

a^{2}

a

a

=

a^{3}

a

a

a

m = 5

n = 2

ตัดกัน $\displaystyle \text{ตัดบนกับล่างได้ } 2 \text{ คู่}$
สรุป $\displaystyle \frac{a^{5}}{a^{2}} = a^{5-2} = a^{3}$

ก้อนที่ถูกขีดฆ่าคือคู่ที่ตัดกันได้ ถ้าข้างล่างเหลือแปลว่าผลลัพธ์อยู่ในรูป

\frac{1}{a^{n-m}}

เลขชี้กำลังเป็นศูนย์และจำนวนเต็มลบ

ถ้าใช้สมบัติการหารกับ $m = n$ จะได้ $\frac{a^n}{a^n} = a^0$ แต่ของที่หารตัวเองได้ $1$ เสมอ และถ้า $m < n$ จะได้เลขชี้กำลังติดลบ จึงนิยามว่า

a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \ne 0)

ดูจากแบบรูปก็ได้ ทุกครั้งที่เลขชี้กำลังลดลง $1$ ค่าจะถูกหารด้วยเลขฐานหนึ่งครั้ง พอลงมาถึง $a^0$ ก็เหลือ $1$ และลงต่อไปก็กลายเป็นเศษส่วน กดเลือกเลขฐานหรือเลื่อน $n$ ดู

เลขฐาน

\displaystyle 2^{4}

\displaystyle = 2 \times 2 \times 2 \times 2

\displaystyle = 16

↓

\div 2

\displaystyle 2^{3}

\displaystyle = 2 \times 2 \times 2

\displaystyle = 8

↓

\div 2

\displaystyle 2^{2}

\displaystyle = 2 \times 2

\displaystyle = 4

↓

\div 2

\displaystyle 2^{1}

\displaystyle = 2

↓

\div 2

\displaystyle 2^{0}

\displaystyle = 1

↓

\div 2

\displaystyle 2^{-1}

\displaystyle = \frac{1}{2}

↓

\div 2

\displaystyle 2^{-2}

\displaystyle = \frac{1}{2 \times 2}

\displaystyle = \frac{1}{4}

↓

\div 2

\displaystyle 2^{-3}

\displaystyle = \frac{1}{2 \times 2 \times 2}

\displaystyle = \frac{1}{8}

n = 0

เลขชี้กำลัง $\displaystyle 2^{0} = 1 \quad \text{เพราะเลขฐานไม่ใช่ } 0$
ค่า $\displaystyle 2^{0} = 1$

เลื่อนลงทีละขั้นคือหารด้วยเลขฐาน

a^0

จึงเท่ากับ

1

และ

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

ยกกำลังซ้อน และยกกำลังผลคูณ ผลหาร

(a^m)^n = a^{mn} \qquad (ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)

$(a^m)^n$ คือ $a^m$ คูณกัน $n$ ชุด แต่ละชุดมี $a$ อยู่ $m$ ตัว รวมเป็น $mn$ ตัว

(

a^{2}

a

a

)³

=

a

a

\cdot

a

a

\cdot

a

a

m = 2

n = 3

นับตัวคูณ $\displaystyle 3 \text{ ชุด ชุดละ } 2 \text{ ตัว} = 6 \text{ ตัว}$
สรุป $\displaystyle (a^{2})^{3} = a^{2\cdot3} = a^{6}$

n

ชุด ชุดละ

m

ก้อน รวมเป็น

m \times n

ก้อน

สรุปสมบัติของเลขยกกำลัง

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$a^0 = 1$ และ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ เมื่อ $a \ne 0$
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(ab)^n = a^n b^n$ และ $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

สิ่งที่ไม่ใช่สมบัติ (ผิดบ่อยมาก)

$(a + b)^n \ne a^n + b^n$ เช่น $(2 + 3)^2 = 25$ แต่ $2^2 + 3^2 = 13$
$a^m \cdot a^n \ne a^{mn}$ ตอนคูณให้ บวก เลขชี้กำลัง ไม่ใช่คูณ
$a^{m^n} \ne (a^m)^n$ เช่น $2^{3^2} = 2^9 = 512$ แต่ $(2^3)^2 = 2^6 = 64$
$a^m \cdot b^n$ รวมเลขชี้กำลังไม่ได้ถ้าฐานไม่เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1

จงหาค่าของ

\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3}

1
ทำทุกตัวให้เป็นฐาน 2
$\frac{2^5 \cdot (2^2)^3}{(2^3)^3} = \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^9}$
2
คูณบวกเลขชี้กำลัง หารลบเลขชี้กำลัง
$2^{5 + 6 - 9} = 2^2$
3
ได้
$4$

ตัวอย่างที่ 2

จงทำ

\frac{(x^3y^2)^2 \cdot x^{-4}}{y^3}

ให้เป็นรูปอย่างง่าย เมื่อ

x, y \ne 0

1
กระจายเลขชี้กำลังเข้าวงเล็บ
$\frac{x^6y^4 \cdot x^{-4}}{y^3}$
2
รวมฐาน $x$ และฐาน $y$ แยกกัน
$x^{6 + (-4)} \cdot y^{4 - 3}$
3
ได้
$x^2y$

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ใช้เขียนจำนวนที่ใหญ่มากหรือเล็กมากให้สั้นลง เขียนในรูป

A \times 10^n \qquad \text{เมื่อ } 1 \le A < 10 \text{ และ } n \text{ เป็นจำนวนเต็ม}

จำนวนมาก: $475{,}000 = 4.75 \times 10^5$ (เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้าย 5 ตำแหน่ง)
จำนวนน้อย: $0.00036 = 3.6 \times 10^{-4}$ (เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา 4 ตำแหน่ง)
$45 \times 10^3$ ยังไม่ใช่สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพราะ $A = 45$ เกิน $10$ ต้องเขียนเป็น $4.5 \times 10^4$

ตัวอย่างที่ 3

จงเขียน

\frac{(8 \times 10^6)(1.2 \times 10^5)}{4 \times 10^4}

ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

1
แยกส่วนตัวเลขกับส่วนกำลังของ 10
$\frac{8 \times 1.2}{4} \times \frac{10^6 \cdot 10^5}{10^4}$
2
คำนวณแต่ละส่วน
$2.4 \times 10^{6 + 5 - 4} = 2.4 \times 10^7$

การเปรียบเทียบเลขยกกำลัง

หลักคือทำ เลขฐาน หรือ เลขชี้กำลัง ให้เท่ากันก่อน แล้วค่อยเทียบ

ฐานเท่ากัน ถ้าฐานมากกว่า $1$ ยกกำลังมากค่ามาก เช่น $3^{10} > 3^8$ แต่ถ้าฐานอยู่ระหว่าง $0$ กับ $1$ ยกกำลังมากค่ากลับน้อย เช่น $\left(\frac{1}{2}\right)^3 > \left(\frac{1}{2}\right)^5$
เลขชี้กำลังเท่ากัน (และเป็นบวก) ฐานมากค่ามาก เช่น $9^{10} > 8^{10} > 5^{10}$

ตัวอย่างที่ 4

จงเรียง

2^{30}

3^{20}

และ

5^{10}

จากมากไปน้อย

1
ฐานต่างกันหมด แต่เลขชี้กำลังหารด้วย 10 ลงตัว ทำให้เลขชี้กำลังเป็น 10 ทั้งหมด
$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}, \quad 3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$
2
เลขชี้กำลังเท่ากันแล้ว เทียบฐาน
$9^{10} > 8^{10} > 5^{10}$

การแก้สมการเลขยกกำลัง

หลักเดียวกัน ทำให้ ฐานเท่ากัน ทั้งสองข้าง แล้วจับเลขชี้กำลังเท่ากัน เพราะถ้า $a^m = a^n$ (เมื่อ $a > 0$ และ $a \ne 1$ ) จะได้ $m = n$

ตัวอย่างที่ 5

จงแก้สมการ

9^x = 27^{x-1}

1
ทำเป็นฐาน 3 ทั้งสองข้าง
$(3^2)^x = (3^3)^{x-1}$
2
ยกกำลังซ้อนคูณเลขชี้กำลัง
$3^{2x} = 3^{3x-3}$
3
ฐานเท่ากัน จับเลขชี้กำลังเท่ากัน
$2x = 3x - 3 \;\Rightarrow\; x = 3$

ถ้าสมการมีหลายพจน์ที่ฐานเดียวกัน ให้ ดึงตัวร่วม ออกมาก่อน

ตัวอย่างที่ 6

จงแก้สมการ

3^{x+2} - 3^x = 72

1
เขียน $3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2$ แล้วดึง $3^x$ ออกมา
$3^x(3^2 - 1) = 72$
2
คำนวณในวงเล็บ
$8 \cdot 3^x = 72 \;\Rightarrow\; 3^x = 9 = 3^2$
3
จับเลขชี้กำลังเท่ากัน
$x = 2$

บางข้อไม่ต้องหา $x$ ออกมาเลย แค่ จัดรูป ให้เห็นก้อนที่โจทย์ให้มา

ตัวอย่างที่ 7

ถ้า

5^x = 3

จงหาค่าของ

25^{x+1}

1
เขียน 25 เป็นฐาน 5
$25^{x+1} = (5^2)^{x+1} = 5^{2x} \cdot 5^2$
2
จัดให้เห็นก้อน $5^x$
$= (5^x)^2 \cdot 25$
3
แทน $5^x = 3$
$= 3^2 \cdot 25 = 225$

ลองทำดู

ข้อ 1

(-3)^4

มีค่าเท่าไร

ข้อ 2

ข้อใดถูกต้อง

ข้อ 3

5^{-2}

เท่ากับข้อใด

ข้อ 4

0.00052

เขียนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้ตามข้อใด

ข้อ 5

ถ้า

2^{x+3} = 32

แล้ว

x

เท่ากับเท่าไร

ข้อ 6

ข้อใดมีค่ามากที่สุด

สรุป

$a^n$ คือ $a$ คูณกัน $n$ ตัว $a$ คือเลขฐาน $n$ คือเลขชี้กำลัง
คูณฐานเดียวกันให้บวกเลขชี้กำลัง หารให้ลบ ยกกำลังซ้อนให้คูณ
$a^0 = 1$ และ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ เมื่อ $a \ne 0$
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์คือ $A \times 10^n$ โดย $1 \le A < 10$
เปรียบเทียบหรือแก้สมการ ให้ทำฐานหรือเลขชี้กำลังให้เท่ากันก่อนเสมอ

คำถามที่พบบ่อย

ทำไม a⁰ ถึงเท่ากับ 1 ไม่ใช่ 0

0⁰ เท่ากับเท่าไร

เลขชี้กำลังติดลบทำให้ค่าติดลบไหม