คณิตศาสตร์ ม.ต้น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สรุปครบ สูตร บทกลับ การพิสูจน์ และโจทย์พร้อมวิธีทำ

สรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัส a² + b² = c² พร้อมภาพจัตุรัสบนด้านที่ลากเล่นได้ การหาความยาวด้าน โจทย์ปัญหา สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส บทกลับ การพิสูจน์ และแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่ใช้บ่อยที่สุดในคณิตศาสตร์ ใช้หาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตั้งแต่โจทย์บันไดพาดกำแพง ไปจนถึงระยะทางบนระนาบในบท ม.ปลาย บทความนี้พี่จะพาดูว่าทฤษฎีบทนี้พูดถึงอะไร ทำไมถึงจริง ใช้ยังไง และมีภาพให้ลากเล่น จะเห็นเลยว่า $a^2 + b^2 = c^2$ จริงทุกครั้ง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคืออะไร

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นด้านที่ยาวที่สุด ให้ยาว $c$
อีกสองด้านที่ประกอบกันเป็นมุมฉาก เรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ให้ยาว $a$ และ $b$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า

a^2 + b^2 = c^2

อ่านในภาษาพื้นที่ได้ว่า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากทั้งสอง ในภาพด้านล่าง ลองนับช่องในจัตุรัสสีน้ำเงินกับสีส้มรวมกัน จะเท่ากับจัตุรัสสีเขียวพอดี แล้วลากมุมเปลี่ยนความยาวด้านดู

ลากวงกลมที่มุมเพื่อเปลี่ยนความยาวด้าน

a = 3

b = 4

ด้านประกอบมุมฉาก $\displaystyle a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$
ด้านตรงข้ามมุมฉาก $\displaystyle c^2 = 25 \;\Rightarrow\; c = 5$

จัตุรัสสีน้ำเงิน

a^2

บวกจัตุรัสสีส้ม

b^2

เท่ากับจัตุรัสสีเขียว

c^2

เสมอ ไม่ว่าด้านจะยาวเท่าไร

การหาความยาวด้าน

จากสูตร $a^2 + b^2 = c^2$ จัดรูปได้สองแบบ แล้วแต่ว่าโจทย์ถามด้านไหน

หา ด้านตรงข้ามมุมฉาก ใช้ $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (บวกกัน)
หา ด้านประกอบมุมฉาก ใช้ $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (ลบกัน)

ตัวอย่างที่ 1 (หาด้านตรงข้ามมุมฉาก)

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

1
แทนในสูตร
$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
2
ถอดรากที่สอง (ความยาวเป็นบวกเสมอ)
$c = \sqrt{100} = 10$

ตัวอย่างที่ 2 (หาด้านประกอบมุมฉาก)

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 เซนติเมตร และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 5 เซนติเมตร จงหาอีกด้านหนึ่ง

1
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $13$ จึงใช้การลบ
$b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
2
ถอดรากที่สอง
$b = \sqrt{144} = 12$

ตัวอย่างที่ 3 (คำตอบติดรูท)

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 2 และ 4 หน่วย จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

1
แทนในสูตร
$c^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
2
$20$ ไม่ใช่จำนวนกำลังสอง ตอบเป็นรูปกรณฑ์อย่างง่าย
$c = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

โจทย์ปัญหาในชีวิตจริง

เคล็ดลับคือ วาดรูปก่อนเสมอ แล้วหาให้เจอว่ามุมฉากอยู่ตรงไหน ด้านไหนเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 4 (บันไดพาดกำแพง)

บันไดยาว 5 เมตร พาดกำแพงตั้งฉากกับพื้น โดยตีนบันไดห่างจากกำแพง 3 เมตร ปลายบันไดอยู่สูงจากพื้นกี่เมตร

1
กำแพงตั้งฉากกับพื้น มุมฉากอยู่ที่โคนกำแพง ตัวบันไดจึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
$c = 5, \quad a = 3$
2
หาความสูง $b$
$b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
3
ถอดรากที่สอง
$b = 4$

ตัวอย่างที่ 5 (เส้นทแยงมุม)

สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 9 เมตร ยาว 12 เมตร ถ้าเดินตัดทแยงมุมจากมุมหนึ่งไปอีกมุมหนึ่ง จะเดินได้ระยะทางกี่เมตร

1
เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป เส้นทแยงมุมคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
$d^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
2
ถอดรากที่สอง
$d = 15$

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส

ชุดจำนวนนับ $(a, b, c)$ ที่ทำให้ $a^2 + b^2 = c^2$ เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส จำไว้ไม่กี่ชุดจะช่วยให้ทำโจทย์ได้เร็วขึ้นมาก

$a$	$b$	$c$	ตรวจ $a^2 + b^2 = c^2$
$3$	$4$	$5$	$9 + 16 = 25$
$5$	$12$	$13$	$25 + 144 = 169$
$8$	$15$	$17$	$64 + 225 = 289$
$7$	$24$	$25$	$49 + 576 = 625$
$20$	$21$	$29$	$400 + 441 = 841$
$12$	$35$	$37$	$144 + 1225 = 1369$
$9$	$40$	$41$	$81 + 1600 = 1681$
$28$	$45$	$53$	$784 + 2025 = 2809$
$11$	$60$	$61$	$121 + 3600 = 3721$
$33$	$56$	$65$	$1089 + 3136 = 4225$

ถ้านำทุกตัวคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ก็ยังเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส เพราะ $(ka)^2 + (kb)^2 = k^2(a^2 + b^2) = (kc)^2$ ชุดที่เจอบ่อยในข้อสอบคือพหุคูณของ $(3, 4, 5)$ และ $(5, 12, 13)$

ชุดตั้งต้น	คูณด้วย	ได้ $(a, b, c)$
$(3, 4, 5)$	$2$	$(6, 8, 10)$
$(3, 4, 5)$	$3$	$(9, 12, 15)$
$(3, 4, 5)$	$4$	$(12, 16, 20)$
$(3, 4, 5)$	$5$	$(15, 20, 25)$
$(5, 12, 13)$	$2$	$(10, 24, 26)$
$(5, 12, 13)$	$3$	$(15, 36, 39)$
$(8, 15, 17)$	$2$	$(16, 30, 34)$
$(7, 24, 25)$	$2$	$(14, 48, 50)$

สังเกตว่าตัวอย่างที่ 1 $(6, 8, 10)$ และตัวอย่างที่ 5 $(9, 12, 15)$ ก็คือ $(3, 4, 5)$ ที่คูณด้วย $2$ และ $3$

สามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ

นอกจากชุดจำนวนนับแล้ว ยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสองแบบที่เจอบ่อยมาก แม้ความยาวด้านจะติดรูท แต่ก็ควรจำอัตราส่วนไว้เลย

มุม	อัตราส่วนด้าน	ตรวจ
$45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$	$1 : 1 : \sqrt{2}$	$1 + 1 = (\sqrt{2})^2$
$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$	$1 : \sqrt{3} : 2$	$1 + 3 = 2^2$

แบบ $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$ ได้จากการตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามเส้นทแยงมุม ด้านประกอบมุมฉากจึงยาวเท่ากัน ถ้ายาวด้านละ $k$ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $k\sqrt{2}$ เช่น เส้นทแยงมุมของจัตุรัสด้านละ $5$ ยาว $5\sqrt{2}$
แบบ $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ ได้จากการแบ่งครึ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเป็น $2$ เท่าของด้านที่สั้นที่สุด ถ้าด้านสั้นยาว $k$ จะได้ $(k, k\sqrt{3}, 2k)$ เช่น $(3, 3\sqrt{3}, 6)$

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กลับด้านได้ด้วย ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว $a$ , $b$ และ $c$ (ให้ $c$ เป็นด้านที่ยาวที่สุด) แล้ว

a^2 + b^2 = c^2 \quad \Longrightarrow \quad \text{เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก}

ดูในภาพด้านล่าง ด้าน $a$ และ $b$ ยาวคงที่ เลื่อนเปิดมุม $C$ ดู

มุม $C$ เล็กกว่า $90^\circ$ ด้าน $c$ สั้นลง จะได้ $a^2 + b^2 > c^2$ (มุมแหลม)
มุม $C$ เท่ากับ $90^\circ$ พอดี จะได้ $a^2 + b^2 = c^2$ (มุมฉาก)
มุม $C$ ใหญ่กว่า $90^\circ$ ด้าน $c$ ยาวขึ้น จะได้ $a^2 + b^2 < c^2$ (มุมป้าน)

\text{มุม } C = 70^\circ

ผลบวกสองด้าน $\displaystyle a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$
ด้านที่สาม $\displaystyle c^2 = 16.79$
สรุป $\displaystyle a^2 + b^2 > c^2 \;\Rightarrow\; \text{มุม } C \text{ เป็นมุมแหลม}$

เทียบ

a^2 + b^2

กับ

c^2

ก็บอกได้ว่ามุมตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุดเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

ตัวอย่างที่ 6

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 7, 24 และ 25 เซนติเมตร เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

1
ด้านที่ยาวที่สุดคือ $25$ ให้เป็น $c$
$c^2 = 25^2 = 625$
2
หาผลบวกกำลังสองของอีกสองด้าน
$a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
3
เท่ากันพอดี
$a^2 + b^2 = c^2$

ทำไมทฤษฎีบทพีทาโกรัสถึงจริง

การพิสูจน์ที่เห็นภาพง่ายที่สุดคือ การจัดเรียงรูปใหม่ นำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกัน 4 รูป มาวางในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ $a + b$ โดยให้ด้านตรงข้ามมุมฉากหันเข้าด้านใน ตรงกลางจะเหลือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $c$

สามเหลี่ยม 4 รูป +

c^2

=

สามเหลี่ยม 4 รูป +

a^2 + b^2

a = 3

b = 4

สี่เหลี่ยมใหญ่ $\displaystyle (a + b)^2 = 7^2 = 49$
สามเหลี่ยม 4 รูป $\displaystyle 4 \times \tfrac{1}{2}ab = 24$
รูปซ้ายเหลือ $\displaystyle c^2 = 49 - 24 = 25$
รูปขวาเหลือ $\displaystyle a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ เท่ากัน ✓

สี่เหลี่ยมใหญ่สองรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมสีเทา 4 รูปก็เท่ากัน ส่วนที่เหลือจึงต้องเท่ากัน: จัตุรัสสีเขียว

c^2

เท่ากับจัตุรัสสีน้ำเงินรวมสีส้ม

a^2 + b^2

ลองเลื่อน

a

กับ

b

ดู

จุดที่ผิดบ่อย

จับด้านผิด $c$ ต้องเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งยาวที่สุดเสมอ ถ้าโจทย์ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากมา ต้องใช้การ ลบ ไม่ใช่บวก
บวกก่อนยกกำลัง $a + b \ne c$ เช่น $3 + 4 = 7$ แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $5$ ต้องยกกำลังสองก่อนแล้วค่อยบวก
ใช้กับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ลองทำดู

ข้อ 1

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 9 และ 12 หน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกี่หน่วย

ข้อ 2

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 17 หน่วย และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 8 หน่วย อีกด้านยาวกี่หน่วย

ข้อ 3

ข้อใดเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส

ข้อ 4

บันไดยาว 10 เมตร พาดกำแพงที่ตั้งฉากกับพื้น ปลายบันไดอยู่สูงจากพื้น 8 เมตร ตีนบันไดห่างจากกำแพงกี่เมตร

ข้อ 5

จอสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 5 นิ้ว ยาว 12 นิ้ว เส้นทแยงมุมยาวกี่นิ้ว

ข้อ 6

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 6, 8 และ 11 หน่วย มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว 11 หน่วยเป็นมุมแบบใด

สรุป

ใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น $c$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก (ยาวที่สุด)
$a^2 + b^2 = c^2$ หา $c$ ให้บวก หาด้านประกอบมุมฉากให้ลบ แล้วอย่าลืมถอดรากที่สอง
จำสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ , $(7, 24, 25)$ และพหุคูณของมัน
สามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ: มุม $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ ด้านเป็น $1 : 1 : \sqrt{2}$ และมุม $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ ด้านเป็น $1 : \sqrt{3} : 2$
บทกลับ: ถ้า $a^2 + b^2 = c^2$ รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำถามที่พบบ่อย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กับรูปสามเหลี่ยมทุกรูปได้ไหม

ถ้าคำตอบไม่ใช่จำนวนเต็มต้องตอบยังไง

พีทาโกรัสเป็นใคร