คณิตศาสตร์ ม.ต้น

การแปรผัน สรุปครบ แปรผันตรง แปรผกผัน และแปรผันเกี่ยวเนื่อง

สรุปการแปรผันครบทุกแบบ แปรผันตรง แปรผกผัน แปรผันเกี่ยวเนื่อง พร้อมกราฟที่ลากเล่นได้ ตัวอย่างโจทย์ปัญหา ทางลัดเทียบอัตราส่วน และแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

การแปรผันคือเรื่องของ "ปริมาณสองอย่างที่เปลี่ยนไปด้วยกันตามกฎที่แน่นอน" เช่น ซื้อของมากขึ้นจ่ายเงินมากขึ้น หรือขับรถเร็วขึ้นใช้เวลาน้อยลง บทความนี้พี่จะสรุปการแปรผันทั้งสามแบบ พร้อมกราฟที่ลากเล่นได้ ให้เห็นเลยว่าอะไรคงที่ อะไรเปลี่ยน แล้วปิดท้ายด้วยวิธีทำโจทย์ที่ใช้ได้ทุกข้อ

การแปรผันคืออะไร

การแปรผันคือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เขียนเป็นสมการได้ โดยมีตัวเลขตัวหนึ่งคงที่เสมอ เรียกว่า ค่าคงตัวการแปรผัน เขียนแทนด้วย $k$ (และ $k \ne 0$ ) ใช้สัญลักษณ์ $\propto$ อ่านว่า "แปรผันกับ"

แปรผันตรง $y \propto x$ หมายถึง $y = kx$
แปรผกผัน $y \propto \frac{1}{x}$ หมายถึง $y = \frac{k}{x}$
แปรผันเกี่ยวเนื่อง $y \propto xz$ หมายถึง $y = kxz$ คือขึ้นกับหลายปริมาณพร้อมกัน

แปรผันตรง

$y$ แปรผันตรงกับ $x$ เขียนว่า $y \propto x$ เมื่อ

y = kx \qquad \text{หรือ} \qquad \frac{y}{x} = k

แปลว่า อัตราส่วน $\frac{y}{x}$ คงที่เสมอ ถ้า $x$ เป็น 2 เท่า $y$ ก็เป็น 2 เท่า ถ้า $x$ ลดลงครึ่งหนึ่ง $y$ ก็ลดลงครึ่งหนึ่ง กราฟเป็นเส้นตรงที่ ผ่านจุดกำเนิด

ตัวอย่างในชีวิตจริง ดินสอแท่งละ 6 บาท ซื้อ $x$ แท่งจ่าย $y$ บาท จะได้ $y = 6x$ คือ $y$ แปรผันตรงกับ $x$ โดยมี $k = 6$

ลองลากจุดสีส้มดู จุดสีเทาคือตำแหน่งเริ่มต้น ตารางด้านล่างจะบอกว่า $x$ เปลี่ยนไปกี่เท่า แล้ว $y$ เปลี่ยนไปกี่เท่า

ลากจุดสีส้มไปตามกราฟได้

x = 2

k = 2

แปรผันตรง $\displaystyle y \propto x$ $\displaystyle y = 2x$
จุดนี้ $\displaystyle x = 2,\; y = 4$
ค่าคงที่ $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{4}{2} = 2 = k$

เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

\frac{y}{x}

เท่ากับ

k

ทุกจุด

x

เป็นกี่เท่า

y

ก็เป็นเท่านั้น

แปรผันตรงกับกำลังสองหรือรากที่สอง

$y$ อาจแปรผันตรงกับปริมาณอื่นที่ไม่ใช่ $x$ ตรง ๆ ก็ได้ เช่น

$y \propto x^2$ คือ $y = kx^2$ เช่น พื้นที่วงกลม $A = \pi r^2$ แปรผันตรงกับกำลังสองของรัศมี โดยมี $k = \pi$
$y \propto \sqrt{x}$ คือ $y = k\sqrt{x}$

ถ้า $y \propto x^2$ แล้ว $x$ เป็น 2 เท่า $y$ จะเป็น $2^2 = 4$ เท่า ลองลากจุดจาก $x = 2$ ไป $x = 4$ ดู

ลากจุดสีส้มไปตามกราฟได้

x = 2

k = 1

แปรผันตรงกับกำลังสอง $\displaystyle y \propto x^2$ $\displaystyle y = x^2$
จุดนี้ $\displaystyle x = 2,\; y = 4$
ค่าคงที่ $\displaystyle \frac{y}{x^2} = \frac{4}{(2)^2} = 1 = k$

y = kx^2

ถ้า

x

เป็น 2 เท่า

y

เป็น 4 เท่า ถ้า

x

เป็น 3 เท่า

y

เป็น 9 เท่า

ตัวอย่างที่ 1

y

แปรผันตรงกับ

x

และ

y = 15

เมื่อ

x = 5

จงหา

y

เมื่อ

x = 8

1
เขียนสมการการแปรผัน
$y = kx$
2
แทน $y = 15$ , $x = 5$ หา $k$
$15 = k(5) \;\Rightarrow\; k = 3$
3
ได้สมการ $y = 3x$ แทน $x = 8$
$y = 3(8) = 24$

ตัวอย่างที่ 2

ระยะทาง

s

ที่วัตถุตกอย่างอิสระแปรผันตรงกับกำลังสองของเวลา

t

ถ้าตก 3 วินาทีได้ระยะ 45 เมตร ตก 5 วินาทีจะได้ระยะกี่เมตร

1
เขียนสมการการแปรผัน
$s = kt^2$
2
แทนค่าที่รู้หา $k$
$45 = k(3^2) \;\Rightarrow\; k = 5$
3
แทน $t = 5$
$s = 5(5^2) = 125$

แปรผกผัน

$y$ แปรผกผันกับ $x$ เขียนว่า $y \propto \frac{1}{x}$ เมื่อ

y = \frac{k}{x} \qquad \text{หรือ} \qquad xy = k

แปลว่า ผลคูณ $xy$ คงที่เสมอ ถ้า $x$ เป็น 2 เท่า $y$ จะเหลือครึ่งเดียว ถ้า $x$ เป็น 3 เท่า $y$ จะเหลือ $\frac{1}{3}$ ของเดิม

ตัวอย่างในชีวิตจริง ขับรถระยะทาง 120 กิโลเมตร ถ้าใช้อัตราเร็ว $v$ จะใช้เวลา $t$ ชั่วโมง โดย $vt = 120$ ขับเร็วเป็น 2 เท่า เวลาก็ลดลงครึ่งหนึ่ง

ในกราฟ สี่เหลี่ยมสีส้มกว้าง $x$ สูง $y$ จึงมีพื้นที่ $xy$ ลองลากจุดดู สี่เหลี่ยมจะเปลี่ยนรูปไปเรื่อย ๆ แต่ พื้นที่เท่าเดิมเสมอ

ลากจุดสีส้มไปตามกราฟได้

x = 2

k = 12

แปรผกผัน $\displaystyle y \propto \frac{1}{x}$ $\displaystyle y = \frac{12}{x}$
จุดนี้ $\displaystyle x = 2,\; y = 6$
ค่าคงที่ $\displaystyle xy = (2)(6) = 12 = k$

สี่เหลี่ยมใต้จุดมีพื้นที่

xy = k

เสมอ

x

เป็น 2 เท่า

y

จึงเหลือครึ่งเดียว

ระวังเข้าใจผิด

" $x$ เพิ่ม $y$ เพิ่ม" ไม่ได้แปลว่าแปรผันตรงเสมอ เช่น $y = x + 3$ ค่า $\frac{y}{x}$ ไม่คงที่ จึงไม่ใช่การแปรผันตรง
" $x$ เพิ่ม $y$ ลด" ไม่ได้แปลว่าแปรผกผันเสมอ เช่น $y = 10 - x$ ค่า $xy$ ไม่คงที่ จึงไม่ใช่การแปรผกผัน
ตรวจง่าย ๆ ด้วยตาราง: แปรผันตรงต้องได้ $\frac{y}{x}$ เท่ากันทุกคู่ แปรผกผันต้องได้ $xy$ เท่ากันทุกคู่

ตัวอย่างที่ 3

คนงาน 6 คนทาสีรั้วเสร็จใน 10 วัน ถ้าใช้คนงาน 15 คน (ทำงานเร็วเท่ากัน) จะเสร็จในกี่วัน

1
คนมากขึ้นใช้เวลาน้อยลง จำนวนวัน $t$ แปรผกผันกับจำนวนคน $n$
$t = \frac{k}{n} \;\text{ หรือ }\; nt = k$
2
หา $k$ จากข้อมูลที่รู้
$k = 6 \times 10 = 60$
3
แทน $n = 15$
$t = \frac{60}{15} = 4$

แปรผันเกี่ยวเนื่อง

ปริมาณหนึ่งอาจขึ้นกับหลายปริมาณพร้อมกัน ถ้า $y$ แปรผันตรงกับผลคูณของ $x$ และ $z$ เรียกว่า $y$ แปรผันเกี่ยวเนื่อง กับ $x$ และ $z$ (บางเล่มเรียกว่าแปรผันร่วม)

y \propto xz \qquad \Longleftrightarrow \qquad y = kxz

ถ้ามีทั้งแบบตรงและแบบผกผันผสมกัน ก็เขียนรวมในสมการเดียวได้ เช่น $y$ แปรผันตรงกับ $x$ และแปรผกผันกับ $z$

y \propto \frac{x}{z} \qquad \Longleftrightarrow \qquad y = \frac{kx}{z}

พื้นที่สามเหลี่ยม $A = \frac{1}{2}bh$ แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ $b$ และ $h$ โดยมี $k = \frac{1}{2}$
ปริมาตรทรงกระบอก $V = \pi r^2 h$ แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ $r^2$ และ $h$ โดยมี $k = \pi$

ตัวอย่างที่ 4

y

แปรผันตรงกับ

x

และแปรผกผันกับ

z

ถ้า

y = 12

เมื่อ

x = 6

และ

z = 3

จงหา

z

เมื่อ

x = 8

และ

y = 16

1
เขียนสมการการแปรผัน
$y = \frac{kx}{z}$
2
แทนค่าชุดแรกหา $k$
$12 = \frac{k(6)}{3} = 2k \;\Rightarrow\; k = 6$
3
แทนค่าชุดที่สอง
$16 = \frac{6(8)}{z} \;\Rightarrow\; z = \frac{48}{16} = 3$

ตัวอย่างที่ 5 (โจทย์เปอร์เซ็นต์)

ปริมาตรทรงกระบอก

V

แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ

r^2

และ

h

ถ้ารัศมีเพิ่มขึ้น 20% และความสูงลดลง 25% ปริมาตรจะเปลี่ยนไปกี่เปอร์เซ็นต์

1
เขียนค่าใหม่เป็นกี่เท่าของค่าเดิม
$r_2 = 1.2r_1, \quad h_2 = 0.75h_1$
2
เทียบอัตราส่วน ไม่ต้องหา $k$
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{k(1.2r_1)^2(0.75h_1)}{kr_1^2h_1} = 1.44 \times 0.75 = 1.08$
3
ปริมาตรใหม่เป็น 1.08 เท่าของเดิม
$\text{เพิ่มขึ้น } 8\%$

วิธีทำโจทย์การแปรผันทุกข้อ

แปลโจทย์เป็นสมการที่มี $k$ เช่น " $y$ แปรผันตรงกับ $x^2$ และแปรผกผันกับ $z$ " คือ $y = \frac{kx^2}{z}$
แทนค่าชุดที่รู้ครบทุกตัวเพื่อหา $k$
แทน $k$ กลับเข้าไป แล้วแทนค่าชุดใหม่เพื่อหาตัวที่โจทย์ถาม

ทางลัด: เทียบอัตราส่วน

ถ้าโจทย์ถามว่า "เป็นกี่เท่า" หรือ "เปลี่ยนไปกี่เปอร์เซ็นต์" ไม่ต้องหา $k$ เลย
เขียนค่าใหม่หารค่าเดิม $k$ จะตัดกันเอง เช่น $y = \frac{kx^2}{z}$ จะได้ $\frac{y_2}{y_1} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}$
แปรผันตรง ปริมาณไปทางเดียวกัน แปรผกผัน ปริมาณกลับด้าน

ลองทำดู

ข้อ 1

y

แปรผันตรงกับ

x

และ

y = 12

เมื่อ

x = 4

จงหา

y

เมื่อ

x = 10

ข้อ 2

y

แปรผกผันกับ

x

และ

y = 6

เมื่อ

x = 4

จงหา

y

เมื่อ

x = 8

ข้อ 3

คู่อันดับ

(x, y)

ชุดใดแสดงว่า

y

แปรผกผันกับ

x

ข้อ 4

ถ้า

y \propto x^2

และ

x

เพิ่มเป็น 3 เท่าของเดิม

y

จะเป็นกี่เท่าของเดิม

ข้อ 5

คนงาน 8 คนสร้างบ้านเสร็จใน 15 วัน ถ้าใช้คนงาน 12 คน จะเสร็จในกี่วัน

ข้อ 6

V

แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ

r^2

และ

h

ถ้า

r

เพิ่มเป็น 2 เท่า และ

h

ลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง

V

จะเป็นกี่เท่าของเดิม

สรุป

แปรผันตรง $y = kx$ อัตราส่วน $\frac{y}{x}$ คงที่ กราฟเป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด
แปรผกผัน $y = \frac{k}{x}$ ผลคูณ $xy$ คงที่ $x$ เป็นกี่เท่า $y$ เป็นส่วนกลับของเท่านั้น
แปรผันเกี่ยวเนื่อง $y = kxz$ ขึ้นกับหลายปริมาณ ผสมแบบผกผันได้ เช่น $y = \frac{kx}{z}$
ทำโจทย์: เขียนสมการที่มี $k$ แทนค่าหา $k$ แล้วแทนค่าชุดใหม่ ถ้าถามเป็นเท่าหรือเปอร์เซ็นต์ให้เทียบอัตราส่วน

คำถามที่พบบ่อย

ค่าคงตัวการแปรผัน k เป็นจำนวนลบได้ไหม

ถ้า y แปรผันตรงกับ x แล้ว x แปรผันตรงกับ y ด้วยไหม

กราฟเส้นตรงทุกเส้นเป็นการแปรผันตรงไหม

การแปรผัน สรุปครบ แปรผันตรง แปรผกผัน และแปรผันเกี่ยวเนื่อง

การแปรผันคืออะไร

แปรผันตรง

แปรผันตรงกับกำลังสองหรือรากที่สอง

แปรผกผัน

แปรผันเกี่ยวเนื่อง

วิธีทำโจทย์การแปรผันทุกข้อ

ลองทำดู

สรุป

อ่านต่อ

เลขยกกำลัง สรุปครบ สมบัติ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ และการแก้สมการ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สรุปครบ สูตร บทกลับ การพิสูจน์ และโจทย์พร้อมวิธีทำ

บัญญัติไตรยางศ์ แบบตรง และแบบกลับ เข้าใจง่ายด้วยวิธีเทียบหนึ่งหน่วย