คณิตศาสตร์ ม.ต้น

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว แก้ยังไง? เข้าใจด้วยเส้นจำนวน (ม.3)

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคืออะไร แก้ยังไง ทำไมคูณจำนวนลบต้องกลับเครื่องหมาย อ่านคำตอบบนเส้นจำนวนแบบลากเล่นได้ พร้อมตัวอย่างทีละขั้น อสมการต่อเนื่อง โจทย์ปัญหา และแบบฝึกหัด

อสมการหน้าตาคล้ายสมการมาก แต่คำตอบไม่ได้มีแค่ค่าเดียว มันคือ "ช่วง" ของจำนวนทั้งช่วง และมีกับดักสำคัญหนึ่งข้อที่ทำให้หลายคนเสียคะแนน บทความนี้พี่จะพาเข้าใจตั้งแต่ความหมาย การอ่านเส้นจำนวน สมบัติที่ใช้แก้ ตัวอย่างทีละขั้น ไปจนถึงโจทย์ปัญหา ลองเลื่อนและลากเส้นจำนวนในบทความไปพร้อมกันได้เลย

อสมการคืออะไร

อสมการ คือประโยคสัญลักษณ์ที่ใช้เครื่องหมายแสดงการไม่เท่ากัน เช่น $x + 3 > 5$ เครื่องหมายที่ใช้บ่อยมีดังนี้

$<$ น้อยกว่า และ $>$ มากกว่า
$\le$ น้อยกว่าหรือเท่ากับ และ $\ge$ มากกว่าหรือเท่ากับ
$\neq$ ไม่เท่ากับ

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คืออสมการที่มีตัวแปรเดียวและเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 เช่น $2x - 1 < 7$ หรือ $5 - 3x \ge x + 1$

คำตอบของอสมการเป็น "ช่วง" ไม่ใช่ค่าเดียว

สมการ $x + 3 = 5$ มีคำตอบเดียวคือ $x = 2$ แต่อสมการ $x + 3 > 5$ เป็นจริงเมื่อ $x$ เป็น ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เช่น 2.5, 3, 10, 100 เราจึงนิยมแสดงคำตอบบน เส้นจำนวน

ลองลากตัวชี้ด้านล่างไปทางซ้ายและขวา แล้วสังเกตว่าเมื่อไหร่อสมการเป็นจริง

ลากตัวชี้ ·

x = 0

→

x+3>5

3 > 5

เท็จ ✗

เส้นหนาคือคำตอบ

x > 2

วงกลมโปร่งที่ 2 แปลว่า 2 ไม่ใช่คำตอบ (เพราะ

2 + 3 = 5

ไม่มากกว่า 5)

วงกลมโปร่ง vs วงกลมทึบ

วงกลมโปร่ง ใช้กับ $<$ และ $>$ แปลว่าไม่รวมจุดนั้น
วงกลมทึบ ใช้กับ $\le$ และ $\ge$ แปลว่ารวมจุดนั้นด้วย

สังเกตวงกลมที่ 2 และทิศของลูกศร

สมบัติของการไม่เท่ากัน

การแก้อสมการใช้วิธีเดียวกับสมการเกือบทั้งหมด ต่างกันแค่ข้อ 3

บวกหรือลบ ทั้งสองข้างด้วยจำนวนเดียวกัน เครื่องหมายเหมือนเดิม
คูณหรือหาร ทั้งสองข้างด้วย จำนวนบวก เครื่องหมายเหมือนเดิม
คูณหรือหาร ทั้งสองข้างด้วย จำนวนลบ ต้อง กลับเครื่องหมาย ( $<$ เป็น $>$ , $\le$ เป็น $\ge$ )

กับดักที่เจอบ่อยที่สุด

ทำไมต้องกลับเครื่องหมาย? ลองดู $2 < 5$ เป็นจริง ถ้าคูณ $-1$ ทั้งสองข้างได้ $-2$ กับ $-5$ ซึ่ง $-2 > -5$ เครื่องหมายจึงต้องกลับด้าน

ถ้าลืมข้อนี้ คำตอบจะกลายเป็นช่วงตรงข้ามทั้งหมด

ลองดูกับ $-2x > 6$ เมื่อหารด้วย $-2$ ทั้งสองข้าง จะได้ $x < -3$ (กลับเครื่องหมาย) ลากตัวชี้เพื่อตรวจว่าจริงไหม

ลากตัวชี้ ·

x = 0

→

-2x>6

0 > 6

เท็จ ✗

คำตอบของ

-2x > 6

คือ

x < -3

ไม่ใช่

x > -3

ขั้นตอนแก้อสมการ

กระจายวงเล็บ และกำจัดเศษส่วน (คูณด้วย ค.ร.น. ซึ่งเป็นจำนวนบวก)
ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปไว้ข้างหนึ่ง ตัวเลขไปอีกข้าง
รวมพจน์ที่คล้ายกัน
หารด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร ถ้าเป็นจำนวนลบให้ กลับเครื่องหมาย
เขียนคำตอบ และวาดบนเส้นจำนวน

ตัวอย่างที่ 1: แบบพื้นฐาน

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการ

3x - 4 \le 11

1
นำ 4 มาบวกทั้งสองข้าง
$3x \le 15$
2
นำ 3 (จำนวนบวก) มาหารทั้งสองข้าง เครื่องหมายเหมือนเดิม
$x \le 5$
3
ตรวจที่จุดขอบ: แทน $x = 5$
$3(5) - 4 = 11 \le 11 \;\checkmark$

คำตอบ

x \le 5

ตัวอย่างที่ 2: ต้องหารด้วยจำนวนลบ

ตัวอย่างที่ 2

แก้อสมการ

5 - 2x > 11

1
นำ 5 มาลบทั้งสองข้าง
$-2x > 6$
2
นำ $-2$ มาหารทั้งสองข้าง ต้องกลับเครื่องหมาย
$x < -3$
3
ตรวจ: ลองแทน $x = -4$ ซึ่งอยู่ในช่วงคำตอบ
$5 - 2(-4) = 13 > 11 \;\checkmark$

ตัวอย่างที่ 3: ตัวแปรอยู่ทั้งสองข้างและมีวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการ

2(x + 1) \ge 5x - 7

1
กระจายวงเล็บ
$2x + 2 \ge 5x - 7$
2
ย้าย $2x$ ไปข้างขวาและ $-7$ มาข้างซ้าย (ให้สัมประสิทธิ์เป็นบวก จะได้ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย)
$2 + 7 \ge 5x - 2x$
3
รวมพจน์
$9 \ge 3x$
4
นำ 3 มาหารทั้งสองข้าง
$3 \ge x \quad\text{หรือ}\quad x \le 3$
5
ตรวจที่จุดขอบ: แทน $x = 3$
$2(3 + 1) = 8 \;\ge\; 5(3) - 7 = 8 \;\checkmark$

เคล็ดลับ

ถ้าไม่อยากเสี่ยงลืมกลับเครื่องหมาย ให้ย้ายพจน์ตัวแปรไปข้างที่ทำให้สัมประสิทธิ์เป็น บวก แบบตัวอย่างที่ 3 แล้วค่อยพลิกอ่านจากขวาไปซ้ายตอนท้าย เช่น $3 \ge x$ อ่านว่า $x \le 3$

ตัวอย่างที่ 4: มีเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการ

\dfrac{x - 1}{2} < \dfrac{x + 3}{3}

1
ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ 6 (จำนวนบวก) นำ 6 มาคูณทั้งสองข้าง
$3(x - 1) < 2(x + 3)$
2
กระจายวงเล็บ
$3x - 3 < 2x + 6$
3
ย้ายข้างแล้วรวมพจน์
$x < 9$
4
ตรวจ: แทน $x = 0$
$\frac{0 - 1}{2} = -\frac{1}{2} \;<\; \frac{0 + 3}{3} = 1 \;\checkmark$

อสมการต่อเนื่อง (สองเงื่อนไขพร้อมกัน)

อสมการอย่าง $-1 < 2x + 3 \le 7$ หมายถึง $2x + 3 > -1$ และ $2x + 3 \le 7$ พร้อมกัน เราแก้ได้ในครั้งเดียวโดยทำกับ ทั้งสามส่วน

ตัวอย่างที่ 5

แก้อสมการ

-1 < 2x + 3 \le 7

1
นำ 3 มาลบทั้งสามส่วน
$-4 < 2x \le 4$
2
นำ 2 มาหารทั้งสามส่วน
$-2 < x \le 2$

คำตอบคือส่วนที่ทั้งสองเงื่อนไข ซ้อนทับกัน

ลากตัวชี้ ·

x = −3

→

-1 < 2x+3 \le 7

−3 > −1

✗ และ

−3 \le 7

✓ เท็จ ✗

ส่วนสีเขียวคือคำตอบ

-2 < x \le 2

ลากตัวชี้ดู ต้องผ่านทั้งสองเงื่อนไขถึงจะเป็นคำตอบ

โจทย์ปัญหา

เคล็ดลับคือหาคำที่บอกทิศ เช่น "ไม่เกิน" ใช้ $\le$ , "อย่างน้อย" ใช้ $\ge$ , "มากกว่า" ใช้ $>$ และอย่าลืมว่าบางโจทย์คำตอบต้องเป็น จำนวนเต็ม

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา

น้องมีเงิน 300 บาท ซื้อปากกาไปแล้ว 45 บาท ที่เหลือจะซื้อสมุดเล่มละ 25 บาท จะซื้อสมุดได้มากที่สุดกี่เล่ม

1
ให้ซื้อสมุด $x$ เล่ม เงินที่ใช้ทั้งหมดต้องไม่เกิน 300 บาท
$25x + 45 \le 300$
2
นำ 45 มาลบทั้งสองข้าง
$25x \le 255$
3
นำ 25 มาหารทั้งสองข้าง
$x \le 10.2$
4
จำนวนสมุดต้องเป็นจำนวนเต็ม ค่าที่มากที่สุดที่ไม่เกิน 10.2 คือ 10
$25(10) + 45 = 295 \le 300 \;\checkmark$

ลองทำดู

ข้อ 1

ข้อใดคือคำตอบของอสมการ

4x + 3 > 19

ข้อ 2

ข้อใดคือคำตอบของอสมการ

7 - 3x \ge 1

ข้อ 3

จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้

3(x - 2) < x + 7

เป็นจริงคือจำนวนใด

ข้อ 4 (โจทย์ปัญหา)

สอบมาแล้ว 3 ครั้งได้ 68, 75 และ 80 คะแนน ครั้งที่ 4 ต้องได้อย่างน้อยกี่คะแนน คะแนนเฉลี่ยทั้ง 4 ครั้งจึงจะไม่ต่ำกว่า 75

ข้อ 5

คำตอบของ

1 \le 3x - 2 < 10

คือข้อใด

สรุป

คำตอบของอสมการเป็นช่วงของจำนวน นิยมแสดงบนเส้นจำนวน
วงกลมโปร่งใช้กับ $<, >$ และวงกลมทึบใช้กับ $\le, \ge$
บวก ลบ คูณ หาร ทำได้เหมือนสมการ แต่ คูณหรือหารด้วยจำนวนลบต้องกลับเครื่องหมาย
อสมการต่อเนื่องให้ทำกับทั้งสามส่วนพร้อมกัน และคำตอบคือส่วนที่ซ้อนทับกัน

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมคูณหรือหารด้วยจำนวนลบแล้วต้องกลับเครื่องหมาย

ย้ายข้างแล้วต้องกลับเครื่องหมายไหม

ตรวจคำตอบอสมการทำยังไง

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว แก้ยังไง? เข้าใจด้วยเส้นจำนวน (ม.3)

อสมการคืออะไร

คำตอบของอสมการเป็น "ช่วง" ไม่ใช่ค่าเดียว

วงกลมโปร่ง vs วงกลมทึบ

สมบัติของการไม่เท่ากัน

ขั้นตอนแก้อสมการ

ตัวอย่างที่ 1: แบบพื้นฐาน

ตัวอย่างที่ 2: ต้องหารด้วยจำนวนลบ

ตัวอย่างที่ 3: ตัวแปรอยู่ทั้งสองข้างและมีวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 4: มีเศษส่วน

อสมการต่อเนื่อง (สองเงื่อนไขพร้อมกัน)

โจทย์ปัญหา

ลองทำดู

สรุป

อ่านต่อ

เลขยกกำลัง สรุปครบ สมบัติ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ และการแก้สมการ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สรุปครบ สูตร บทกลับ การพิสูจน์ และโจทย์พร้อมวิธีทำ

การแปรผัน สรุปครบ แปรผันตรง แปรผกผัน และแปรผันเกี่ยวเนื่อง