คณิตศาสตร์ ม.ต้น

สถิติ ม.ต้น สรุปครบ ม.1–ม.3 แผนภูมิ ค่ากลาง ควอร์ไทล์ และแผนภาพกล่อง

สรุปสถิติ ม.1–ม.3 ในบทความเดียว ตั้งแต่คำถามทางสถิติ แผนภูมิรูปภาพ แท่ง เส้น วงกลม แผนภาพจุด ต้น-ใบ ฮิสโทแกรม ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม ไปจนถึงควอร์ไทล์ แผนภาพกล่อง และค่านอกเกณฑ์ พร้อมภาพให้กดเล่นทุกหัวข้อ

สถิติ ม.ต้น เรียนต่อกันสามปี ม.1 เริ่มจากคำถามทางสถิติ การเก็บข้อมูล และแผนภูมิแบบต่าง ๆ ม.2 ได้รู้จักแผนภาพหน้าตาใหม่ และ ค่ากลางของข้อมูล ส่วน ม.3 ปิดท้ายด้วย ควอร์ไทล์และแผนภาพกล่อง บทความนี้พี่รวมไว้ครบในที่เดียว เรียงตามลำดับที่เรียน ทุกหัวข้อมีภาพให้กดเล่น ทั้งเปลี่ยนรูปแบบแผนภูมิ เพิ่มหรือลบข้อมูล และลากจุดดูว่าแผนภาพกล่องเปลี่ยนยังไง

สถิติคืออะไร

สถิติ คือศาสตร์ของการเรียนรู้จากข้อมูล ตั้งแต่ตั้งคำถาม เก็บข้อมูล นำเสนอ วิเคราะห์ ไปจนถึงแปลความหมาย ทำเป็นขั้นตอนได้ 4 ขั้น เรียกว่า กระบวนการทางสถิติ

ตั้งคำถามทางสถิติ
เก็บรวบรวมข้อมูล
วิเคราะห์ข้อมูล (นำเสนอเป็นแผนภูมิ หาค่ากลาง ฯลฯ)
แปลความหมายผลลัพธ์ แล้วตอบคำถามที่ตั้งไว้

คำถามทางสถิติ

คำถามทางสถิติ คือคำถามที่ต้องเก็บข้อมูลหลายตัวมาตอบ และคาดว่าข้อมูลที่ได้จะ แตกต่างกัน ถ้าคำถามมีคำตอบเดียวแน่นอน ก็ไม่ใช่คำถามทางสถิติ

คำถาม	เป็นคำถามทางสถิติไหม
นักเรียนห้อง ม.1/1 ชอบกีฬาอะไร	เป็น (แต่ละคนตอบต่างกัน)
เพื่อนแต่ละคนใช้เวลาเดินทางมาโรงเรียนกี่นาที	เป็น
วันนี้เป็นวันอะไร	ไม่เป็น (มีคำตอบเดียว)
ครูประจำชั้นสูงกี่เซนติเมตร	ไม่เป็น

การเก็บรวบรวมข้อมูล

เก็บข้อมูลได้หลายวิธี เลือกตามคำถามที่ตั้งไว้

สำรวจหรือใช้แบบสอบถาม เช่น ถามกีฬาที่ชอบของเพื่อนทั้งห้อง
สัมภาษณ์ เช่น คุยกับแม่ค้าเรื่องยอดขายแต่ละวัน
สังเกต เช่น นับจำนวนรถที่ผ่านหน้าโรงเรียน
ทดลอง เช่น วัดความสูงของต้นถั่วทุกวัน

ข้อมูลที่ได้แบ่งเป็นสองประเภท

ประเภท	ลักษณะ	ตัวอย่าง
ข้อมูลเชิงปริมาณ	เป็นตัวเลขที่นำมาคำนวณหรือเปรียบเทียบมากน้อยได้	คะแนนสอบ ส่วนสูง จำนวนพี่น้อง
ข้อมูลเชิงคุณภาพ	บอกลักษณะหรือประเภท	เพศ สีที่ชอบ กรุ๊ปเลือด ไซส์เสื้อ

ระวัง ข้อมูลที่เขียนเป็นตัวเลขไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงปริมาณเสมอ เช่น เบอร์โทรศัพท์ หรือ เลขประจำตัวนักเรียน เอามาบวกลบหรือหาค่าเฉลี่ยไม่มีความหมาย จึงเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ

นำเสนอข้อมูลด้วยแผนภูมิ (ม.1)

แผนภูมิรูปภาพ

ใช้รูปแทนจำนวน มี กุญแจ บอกว่า 1 รูปแทนเท่าไร ถ้าจำนวนไม่ลงตัวใช้รูปไม่เต็ม เหมาะกับข้อมูลที่อยากให้ดูง่าย สะดุดตา

1 รูป แทน 5 คน

ผลไม้ที่นักเรียนชอบ รูปคนหนึ่งรูปแทน 5 คน กล้วยมี 12 คน จึงเป็น 2 รูปเต็มกับอีก

\frac{2}{5}

ของรูป

แผนภูมิแท่ง

ใช้ความยาวของแท่งแทนจำนวน แท่งแยกจากกันและกว้างเท่ากัน เหมาะกับการ เปรียบเทียบจำนวนของแต่ละประเภท ถ้าวางสองแท่งคู่กันจะเปรียบเทียบข้อมูลสองกลุ่มได้

ชายหญิง

กีฬาที่นักเรียนชายและหญิงชอบ นักเรียนชายชอบฟุตบอลมากที่สุด ส่วนนักเรียนหญิงชอบแบดมินตันมากที่สุด

กราฟเส้น

ใช้จุดที่ลากเส้นเชื่อมกัน เหมาะกับข้อมูลที่ เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดูแนวโน้มว่าเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ยอดขายน้ำแข็งใสของร้านหนึ่ง เพิ่มขึ้นจนสูงสุดในเดือนเมษายน แล้วลดลงเมื่อเข้าหน้าฝน

แผนภูมิรูปวงกลม

ใช้ สัดส่วนของวงกลม แทนส่วนย่อยเมื่อเทียบกับทั้งหมด วงกลมทั้งวงคือ $100\%$ หรือ $360^\circ$ การสร้างเองต้องหามุมของแต่ละส่วนก่อน

\text{ร้อยละ} = \frac{\text{จำนวนส่วนนั้น}}{\text{จำนวนทั้งหมด}} \times 100 \qquad \text{มุม} = \frac{\text{จำนวนส่วนนั้น}}{\text{จำนวนทั้งหมด}} \times 360^\circ

อาหารเดินทางขนมเงินออม

รายการ	บาท	ร้อยละ	มุม
อาหาร	1600	40	144°
เดินทาง	800	20	72°
ขนม	600	15	54°
เงินออม	1000	25	90°
รวม	4000	100	360°

ค่าใช้จ่ายต่อเดือน 4,000 บาท ตารางใต้วงกลมคือขั้นตอนสร้าง หาร้อยละและมุมของแต่ละส่วนก่อน แล้วใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วาดทีละมุม

ตัวอย่างที่ 1 (หามุมของแผนภูมิรูปวงกลม)

นักเรียนใช้เงินค่าอาหาร 1,600 บาท จากค่าใช้จ่ายทั้งหมด 4,000 บาท ส่วนนี้คิดเป็นร้อยละเท่าไร และในแผนภูมิรูปวงกลมต้องใช้มุมกี่องศา

1
หาร้อยละ
$\frac{1600}{4000} \times 100 = 40\%$
2
หามุม
$\frac{1600}{4000} \times 360^\circ = 144^\circ$

เลือกการนำเสนอให้เหมาะกับข้อมูล

อยากแสดง	ควรใช้
เปรียบเทียบจำนวนแต่ละประเภท	แผนภูมิแท่ง หรือแผนภูมิรูปภาพ
การเปลี่ยนแปลงตามเวลา	กราฟเส้น
ส่วนย่อยเทียบกับทั้งหมด	แผนภูมิรูปวงกลม
ข้อมูลเชิงปริมาณจำนวนมาก	ฮิสโทแกรม (ม.2)
เปรียบเทียบการกระจายของหลายกลุ่ม	แผนภาพกล่อง (ม.3)

ลองกดเปลี่ยนรูปแบบในภาพด้านล่าง ข้อมูลยอดขายรายเดือนชุดเดียวกัน แบบไหนอ่านง่ายที่สุด

กราฟเส้นเห็นแนวโน้มขึ้นลงชัดที่สุด แผนภูมิแท่งก็ยังเปรียบเทียบได้ แต่แผนภูมิรูปวงกลมไม่เหมาะ เพราะยอดขายแต่ละเดือนไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของอะไรที่รวมกันมีความหมาย

แผนภาพจุด (ม.2)

แผนภาพจุด ใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณที่มีไม่มาก วาดเส้นจำนวน แล้ววางจุดหนึ่งจุดต่อข้อมูลหนึ่งตัว ถ้าค่าซ้ำก็ซ้อนจุดขึ้นไป ทำให้เห็นทันทีว่าข้อมูลกระจุกอยู่ตรงไหน

คะแนนสอบย่อย (เต็ม 10) ของนักเรียน 15 คน จุดสูงที่สุดอยู่ที่ 7 คะแนน และไม่มีใครได้ต่ำกว่า 4

ตัวอย่างที่ 2 (อ่านแผนภาพจุด)

จากแผนภาพจุดด้านบน มีนักเรียนกี่คนที่ได้คะแนนตั้งแต่ 8 คะแนนขึ้นไป และคิดเป็นร้อยละเท่าไรของทั้งหมด

1
นับจุดที่ 8, 9 และ 10
$2 + 2 + 1 = 5 \text{ คน}$
2
เทียบกับนักเรียนทั้งหมด 15 คน
$\frac{5}{15} \times 100 \approx 33.33\%$

แผนภาพต้น-ใบ (ม.2)

แผนภาพต้น-ใบ แยกตัวเลขแต่ละตัวเป็นสองส่วน หลักหน่วยเป็น ใบ ส่วนหลักที่เหลือเป็น ต้น เช่น $48$ มีต้นเป็น $4$ และใบเป็น $8$ ข้อดีคือยังเห็นค่าจริงของข้อมูลทุกตัว และเรียงข้อมูลให้เราไปในตัว

3	8
4	1 3 5 5 7 8
5	0 2 2 3 6 8
6	1 5

5 \mid 0

หมายถึง

50

กิโลกรัม

ข้อมูล $\displaystyle n = 15,\; \min = 38,\; \max = 65,\; \text{มัธยฐาน} = 50$

น้ำหนักของนักเรียน 15 คน อ่านแถวต้น

4

ได้

41, 43, 45, 45, 47, 48

ข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ในช่วง 40 ถึง 59 กิโลกรัม

ถ้าต้องการ เปรียบเทียบข้อมูลสองชุด ให้ใช้ต้นร่วมกันตรงกลาง แล้วเขียนใบของชุดหนึ่งไปทางขวา อีกชุดไปทางซ้าย

หญิง	ต้น	ชาย
7 5	14	8
8 6 5 3 1 0	15	2 5 8
2 0	16	0 1 3 5 8
	17	2

16 \mid 1

หมายถึง

161

เซนติเมตร

ชาย $\displaystyle n = 10,\; \min = 148,\; \max = 172,\; \text{มัธยฐาน} = 160.5$
หญิง $\displaystyle n = 10,\; \min = 145,\; \max = 162,\; \text{มัธยฐาน} = 154$

ส่วนสูงนักเรียนชาย (ขวา) และหญิง (ซ้าย) ใบฝั่งซ้ายอ่านจากตรงกลางออกไป ใบของนักเรียนชายไปอยู่แถว 16 และ 17 มากกว่า แปลว่าโดยรวมนักเรียนชายสูงกว่า

ฮิสโทแกรม (ม.2)

เมื่อข้อมูลมีจำนวนมาก การวางจุดทีละตัวจะไม่สะดวก ให้แบ่งข้อมูลเป็นช่วงเท่า ๆ กัน เรียกว่า อันตรภาคชั้น แล้วนับว่าแต่ละช่วงมีข้อมูลกี่ตัว (ความถี่) จากนั้นวาดเป็นแท่งสี่เหลี่ยมที่ ติดกัน เรียกว่า ฮิสโทแกรม

ความกว้างของอันตรภาคชั้นควรเท่ากันทุกช่วง
ความสูงของแท่งคือความถี่
แท่งติดกันเพราะช่วงข้อมูลต่อเนื่องกัน ต่างจากแผนภูมิแท่งที่แท่งแยกกัน

ความกว้างช่วง = 10

คะแนน	ความถี่
30–39	1
40–49	3
50–59	5
60–69	8
70–79	7
80–89	4
90–99	2

จำนวนข้อมูล $\displaystyle 1 + 3 + 5 + 8 + 7 + 4 + 2 = 30$
ความถี่สูงสุด $\displaystyle \text{ช่วง } 60–69 \;(8 \text{ ตัว})$

คะแนนสอบของนักเรียน 30 คน ลองเลื่อนเปลี่ยนความกว้างของอันตรภาคชั้น ถ้ากว้างเกินไปจะเห็นรายละเอียดน้อย ถ้าแคบเกินไปแท่งจะขาด ๆ เกิน ๆ

ตัวอย่างที่ 3 (อ่านฮิสโทแกรม)

จากฮิสโทแกรมด้านบน (ความกว้าง 10) มีนักเรียนกี่คนที่ได้คะแนนตั้งแต่ 70 ขึ้นไป

1
รวมความถี่ของช่วง 70–79, 80–89 และ 90–99
$7 + 4 + 2 = 13$

ค่ากลางของข้อมูล (ม.2)

ค่ากลาง คือตัวเลขตัวเดียวที่ใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งชุด ใน ม.2 เรียนสามแบบ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

นำข้อมูลทุกตัวมาบวกกัน แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูล

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}

ถ้าข้อมูลอยู่ในรูป ตารางความถี่ ให้คูณค่าแต่ละค่ากับความถี่ของมันก่อนบวก

\bar{x} = \frac{f_1x_1 + f_2x_2 + \cdots + f_kx_k}{N}

คะแนน ( $x$ )	5	6	7	8	9	10
จำนวนคน ( $f$ )	2	3	6	5	3	1

ตัวอย่างที่ 4 (ค่าเฉลี่ยจากตารางความถี่)

จากตารางด้านบน จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนน

1
หาจำนวนข้อมูลทั้งหมด
$N = 2 + 3 + 6 + 5 + 3 + 1 = 20$
2
คูณคะแนนกับจำนวนคนแล้วบวก
$\sum fx = 5(2) + 6(3) + 7(6) + 8(5) + 9(3) + 10(1) = 147$
3
หารด้วย $N$
$\bar{x} = \frac{147}{20} = 7.35$

มัธยฐาน

มัธยฐาน คือค่าที่อยู่ ตรงกลาง เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก

เรียงข้อมูลก่อนเสมอ
ข้อมูล $N$ ตัว มัธยฐานอยู่ ตำแหน่งที่ $\frac{N + 1}{2}$
ถ้า $N$ เป็นจำนวนคู่ ตำแหน่งจะได้ครึ่ง ๆ เช่น $5.5$ ให้เอาตัวที่ 5 กับตัวที่ 6 มาเฉลี่ยกัน

ฐานนิยม

ฐานนิยม คือค่าที่ ซ้ำบ่อยที่สุด ข้อมูลชุดหนึ่งอาจมีฐานนิยมมากกว่าหนึ่งค่า หรือไม่มีเลยก็ได้ ถ้าทุกค่าซ้ำเท่ากัน

ลองเล่นกับภาพด้านล่าง กดบนเส้นจำนวนเพื่อเพิ่มข้อมูล กดที่จุดเพื่อลบ แล้วดูว่า ค่าเฉลี่ย (สามเหลี่ยมสีส้มใต้เส้น) กับ มัธยฐาน (เส้นประสีเขียว) ขยับต่างกันอย่างไร จุดสีม่วงคือฐานนิยม

กดบนเส้นจำนวนเพื่อเพิ่มข้อมูล · กดจุดเพื่อลบ

ข้อมูล 15 ตัว

ค่าเฉลี่ย ▲ $\displaystyle \bar{x} = \frac{104}{15} = 6.93$
มัธยฐาน ▼ $\displaystyle \text{ตัวที่ } \tfrac{15+1}{2} = 8 \;\Rightarrow\; 7$
ฐานนิยม $\displaystyle 7 \;(\text{ซ้ำ } 4 \text{ ครั้ง})$
พิสัย $\displaystyle 10 - 4 = 6$

ลองกดเพิ่มค่า 20 สัก 2–3 ตัว ค่าเฉลี่ยจะถูกดึงไปทางขวาทันที แต่มัธยฐานขยับนิดเดียว เพราะมัธยฐานสนใจแค่ลำดับ ไม่สนใจว่าค่าปลายสุดมากแค่ไหน

ตัวอย่างที่ 5 (มัธยฐานเมื่อข้อมูลเป็นจำนวนคู่)

จงหามัธยฐานและฐานนิยมของข้อมูล

12, 7, 15, 9, 7, 20, 11, 18

1
เรียงจากน้อยไปมาก
$7, 7, 9, 11, 12, 15, 18, 20$
2
มี 8 ตัว มัธยฐานอยู่ตำแหน่ง $\frac{8 + 1}{2} = 4.5$ คือเฉลี่ยตัวที่ 4 กับ 5
$\frac{11 + 12}{2} = 11.5$
3
ค่าที่ซ้ำบ่อยที่สุด
$7 \text{ (ซ้ำ 2 ครั้ง)}$

เลือกใช้ค่ากลางให้เหมาะกับข้อมูล

ค่ากลาง	เหมาะเมื่อ	ตัวอย่าง
ค่าเฉลี่ย	ข้อมูลเชิงปริมาณที่ไม่มีค่าผิดปกติมาก	คะแนนสอบของทั้งห้อง
มัธยฐาน	มีค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติ	เงินเดือนพนักงาน ราคาบ้าน
ฐานนิยม	ข้อมูลเชิงคุณภาพ หรืออยากรู้ว่าอะไรนิยมที่สุด	ไซส์เสื้อที่ขายดี สีที่ชอบ

ตัวอย่างที่ 6 (ค่าเฉลี่ยหลอกตา)

บริษัทหนึ่งมีพนักงาน 9 คน ได้เงินเดือน 15,000 15,000 16,000 17,000 18,000 18,000 18,000 20,000 และเจ้าของบริษัท 150,000 บาท ควรใช้ค่ากลางใดเป็นตัวแทนเงินเดือนของคนในบริษัท

1
ค่าเฉลี่ย (หน่วยพันบาท)
$\bar{x} = \frac{287}{9} \approx 31.9 \text{ พันบาท}$
2
มัธยฐาน ตัวที่ $\frac{9 + 1}{2} = 5$
$18 \text{ พันบาท}$
3
มีพนักงาน 8 ใน 9 คนได้ไม่เกิน 20,000 บาท ค่าเฉลี่ยถูกเงินเดือนเจ้าของดึงขึ้นไป
$31{,}900 \gg 18{,}000$

นอกจากค่ากลาง ยังมี พิสัย ที่บอกว่าข้อมูลกระจายกว้างแค่ไหน หาได้จาก ค่าสูงสุด ลบ ค่าต่ำสุด เช่น คะแนน 4 ถึง 10 มีพิสัย $10 - 4 = 6$ ถ้าพิสัยมากแปลว่าข้อมูลกระจายมาก

ควอร์ไทล์ (ม.3)

ควอร์ไทล์ คือค่าที่แบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนมีข้อมูลประมาณ $25\%$

$Q_1$ ควอร์ไทล์ที่ 1 มีข้อมูลประมาณ $25\%$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับค่านี้
$Q_2$ ควอร์ไทล์ที่ 2 ก็คือ มัธยฐาน ( $50\%$ )
$Q_3$ ควอร์ไทล์ที่ 3 มีข้อมูลประมาณ $75\%$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับค่านี้

ควอร์ไทล์สร้างมาจากมัธยฐานที่เพิ่งเรียนไป วิธีหาใน ม.3 คือหามัธยฐานซ้อนกันสามครั้ง

เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
หามัธยฐานของข้อมูลทั้งหมด ได้ $Q_2$
หามัธยฐานของ ข้อมูลที่อยู่ก่อน $Q_2$ ได้ $Q_1$
หามัธยฐานของ ข้อมูลที่อยู่หลัง $Q_2$ ได้ $Q_3$

ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ตัวที่เป็น $Q_2$ ไม่นับรวม ในครึ่งไหนเลย ในภาพด้านล่าง จุดสีน้ำเงินคือครึ่งล่าง จุดสีส้มคือครึ่งบน จุดสีเขียวคือตัวกลาง ลองลากจุดดูว่าควอร์ไทล์เปลี่ยนตามอย่างไร

ลากจุดซ้าย-ขวาได้

ครึ่งล่าง ตัวกลาง ครึ่งบน

เรียงข้อมูล $\displaystyle 3, 5, 6, 8, 9, 12, 15 \quad (n = 7)$
Q₂ (มัธยฐาน) $\displaystyle Q_2 = 8$
Q₁ $\displaystyle \text{มัธยฐานของ } \{3, 5, 6\} = 5$
Q₃ $\displaystyle \text{มัธยฐานของ } \{9, 12, 15\} = 12$

ข้อมูล 7 ตัว ตัวที่ 4 คือ

Q_2

ครึ่งล่างมี 3 ตัว มัธยฐานของครึ่งล่างคือ

Q_1

ครึ่งบนก็เช่นกัน ลองลากจุดไปทางซ้ายหรือขวา พอลำดับเปลี่ยน สีของจุดและควอร์ไทล์ก็เปลี่ยนตาม

ตัวอย่างที่ 7 (ข้อมูลจำนวนคี่)

จงหา

Q_1, Q_2, Q_3

ของข้อมูล

3, 9, 5, 12, 8, 15, 6

1
เรียงจากน้อยไปมาก
$3,\; 5,\; 6,\; 8,\; 9,\; 12,\; 15$
2
มี 7 ตัว มัธยฐานคือตัวที่ 4
$Q_2 = 8$
3
ข้อมูลก่อน $Q_2$ คือ $3, 5, 6$
$Q_1 = 5$
4
ข้อมูลหลัง $Q_2$ คือ $9, 12, 15$
$Q_3 = 12$

ตัวอย่างที่ 8 (ข้อมูลจำนวนคู่)

จงหา

Q_1, Q_2, Q_3

ของข้อมูล

12, 15, 17, 18, 20, 22, 25, 26, 30, 34

1
เรียงแล้ว มี 10 ตัว มัธยฐานคือเฉลี่ยตัวที่ 5 และ 6
$Q_2 = \frac{20 + 22}{2} = 21$
2
ครึ่งล่าง 5 ตัว $12, 15, 17, 18, 20$
$Q_1 = 17$
3
ครึ่งบน 5 ตัว $22, 25, 26, 30, 34$
$Q_3 = 26$

แผนภาพกล่อง (ม.3)

แผนภาพกล่อง สร้างจาก ค่าสรุปห้าค่า คือ ค่าต่ำสุด $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ และค่าสูงสุด วิธีวาด

วาดเส้นจำนวนที่ครอบคลุมข้อมูลทั้งหมด
วาด กล่อง จาก $Q_1$ ถึง $Q_3$
ลากเส้นตั้งในกล่องที่ $Q_2$
ลาก หนวด จากกล่องออกไปถึงค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด

ลากจุดซ้าย-ขวาได้

ครึ่งล่าง ตัวกลาง ครึ่งบน

เรียงข้อมูล $\displaystyle 45, 52, 55, 58, 60, 62, 65, 67, 70, 74, 80, 92 \quad (n = 12)$
Q₂ (มัธยฐาน) $\displaystyle Q_2 = 63.5$
Q₁ $\displaystyle \text{มัธยฐานของ } \{45, 52, 55, 58, 60, 62\} = 56.5$
Q₃ $\displaystyle \text{มัธยฐานของ } \{65, 67, 70, 74, 80, 92\} = 72$

คะแนนสอบของนักเรียน 12 คน หนวดซ้ายยาว 11.5 แต่หนวดขวายาว 20 แปลว่าคะแนนกลุ่มสูงกระจายมากกว่ากลุ่มต่ำ ลองลากคะแนน 92 เข้ามาใกล้ ๆ ดู

ตัวอย่างที่ 9 (ค่าสรุปห้าค่า)

จงหาค่าสรุปห้าค่าของคะแนน

45, 52, 55, 58, 60, 62, 65, 67, 70, 74, 80, 92

เพื่อใช้สร้างแผนภาพกล่อง

1
ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด
$\min = 45,\quad \max = 92$
2
มี 12 ตัว มัธยฐานคือเฉลี่ยตัวที่ 6 และ 7
$Q_2 = \frac{62 + 65}{2} = 63.5$
3
ครึ่งล่าง 6 ตัว $45, 52, 55, 58, 60, 62$
$Q_1 = \frac{55 + 58}{2} = 56.5$
4
ครึ่งบน 6 ตัว $65, 67, 70, 74, 80, 92$
$Q_3 = \frac{70 + 74}{2} = 72$

อ่านแผนภาพกล่อง (ม.3)

แผนภาพกล่องแบ่งข้อมูลเป็น 4 ส่วน คือ หนวดซ้าย ครึ่งซ้ายของกล่อง ครึ่งขวาของกล่อง และหนวดขวา แต่ละส่วนมีข้อมูลประมาณ $25\%$ เท่ากัน ไม่ว่าส่วนนั้นจะยาวหรือสั้น

ส่วนที่ สั้น แปลว่าข้อมูล $25\%$ นั้น อยู่กันแน่น
ส่วนที่ ยาว แปลว่าข้อมูล $25\%$ นั้น กระจายมาก
ความยาวของกล่อง $Q_3 - Q_1$ เรียกว่า พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ บอกการกระจายของข้อมูล $50\%$ ตรงกลาง
ถ้าเส้น $Q_2$ อยู่ค่อนไปทางซ้ายและหนวดขวายาว แปลว่ามีข้อมูลค่าสูงบางส่วนดึงให้เบ้ไปทางขวา

ข้อควรระวังในการอ่าน

ส่วนที่ยาวกว่า ไม่ได้ มีข้อมูลมากกว่า ทุกส่วนมีข้อมูลประมาณจำนวนเท่ากัน ความยาวบอกแค่ว่าข้อมูลในส่วนนั้นกระจายกว้างแค่ไหน

เปรียบเทียบข้อมูลสองชุด (ม.3)

วาดแผนภาพกล่องหลายกล่องบนเส้นจำนวนเดียวกัน จะเปรียบเทียบทั้งค่ากลางและการกระจายได้ในแวบเดียว

ห้อง A $\displaystyle \min = 40,\; Q_1 = 52,\; Q_2 = 60,\; Q_3 = 65,\; \max = 78$
ห้อง B $\displaystyle \min = 30,\; Q_1 = 45,\; Q_2 = 62,\; Q_3 = 75,\; \max = 90$

คะแนนสอบของห้อง A และห้อง B มัธยฐานใกล้กัน (60 กับ 62) แต่กล่องของห้อง B ยาวกว่ามาก

ตัวอย่างที่ 10 (เปรียบเทียบ)

จากแผนภาพกล่องด้านบน ห้องใดมีคะแนนกระจายมากกว่า และห้องใดมีคะแนนโดยรวมสูงกว่า

1
เทียบพิสัยระหว่างควอร์ไทล์
$A: 65 - 52 = 13,\qquad B: 75 - 45 = 30$
2
เทียบมัธยฐาน
$A: 60,\qquad B: 62$

ค่านอกเกณฑ์ (ม.3)

บางครั้งข้อมูลมีค่าที่ สูงหรือต่ำผิดปกติ เมื่อเทียบกับตัวอื่น เรียกว่า ค่านอกเกณฑ์ เกณฑ์ที่ใช้คือ ถ้าข้อมูลอยู่ห่างจากกล่องเกิน $1.5$ เท่าของความยาวกล่อง

\text{ค่านอกเกณฑ์} < Q_1 - 1.5(Q_3 - Q_1) \quad\text{หรือ}\quad \text{ค่านอกเกณฑ์} > Q_3 + 1.5(Q_3 - Q_1)

ในแผนภาพกล่อง ค่านอกเกณฑ์จะ แสดงเป็นจุดแยก ส่วนหนวดลากไปแค่ข้อมูลตัวที่ไกลที่สุดที่ยังอยู่ในเกณฑ์

ลากจุดซ้าย-ขวาได้

ครึ่งล่าง ตัวกลาง ครึ่งบน

เรียงข้อมูล $\displaystyle 12, 14, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 40 \quad (n = 11)$
Q₂ (มัธยฐาน) $\displaystyle Q_2 = 18$
Q₁ $\displaystyle \text{มัธยฐานของ } \{12, 14, 15, 15, 16\} = 15$
Q₃ $\displaystyle \text{มัธยฐานของ } \{19, 20, 21, 23, 40\} = 21$
ค่านอกเกณฑ์ $\displaystyle Q_3 - Q_1 = 6,\;\; \text{เกณฑ์ } [6,\; 30]$ $\displaystyle \text{ค่านอกเกณฑ์: } 40$

เวลาเดินทางมาโรงเรียนของนักเรียน 11 คน ค่า 40 อยู่เกินเกณฑ์บน จึงเป็นจุดวงกลมสีแดง หนวดขวาหยุดที่ 23 ลองลากจุด 40 เข้ามาใกล้ ๆ ดูว่าเมื่อไรจะไม่เป็นค่านอกเกณฑ์

ตัวอย่างที่ 11

เวลาเดินทาง (นาที) ของนักเรียน 11 คน คือ

12, 14, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 40

มีค่านอกเกณฑ์หรือไม่

1
หาควอร์ไทล์ ( $n = 11$ ตัวที่ 6 คือมัธยฐาน)
$Q_1 = 15,\quad Q_2 = 18,\quad Q_3 = 21$
2
ความยาวกล่อง
$Q_3 - Q_1 = 6,\qquad 1.5 \times 6 = 9$
3
หาเกณฑ์ล่างและเกณฑ์บน
$15 - 9 = 6,\qquad 21 + 9 = 30$
4
ข้อมูลที่อยู่นอกช่วง $[6, 30]$
$40 > 30$

จุดที่ผิดบ่อย

ใช้แผนภูมิรูปวงกลมผิดที่ แผนภูมิรูปวงกลมใช้กับส่วนย่อยของทั้งหมดเท่านั้น ข้อมูลตามเวลาให้ใช้กราฟเส้น
มุมของแผนภูมิรูปวงกลม เทียบกับ $360^\circ$ ไม่ใช่ $100$ และมุมทุกส่วนรวมกันต้องได้ $360^\circ$
ลืมเรียงข้อมูล ก่อนหามัธยฐานหรือควอร์ไทล์
ตอบตำแหน่งแทนค่า $\frac{N + 1}{2}$ คือตำแหน่ง ไม่ใช่มัธยฐาน
ฐานนิยมคือค่า ไม่ใช่ความถี่ ถ้า 7 ซ้ำ 4 ครั้ง ฐานนิยมคือ 7
นับ $Q_2$ ซ้ำ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่ ตัวที่เป็น $Q_2$ ไม่อยู่ในครึ่งล่างหรือครึ่งบน
คิดว่าส่วนที่ยาวของแผนภาพกล่องมีข้อมูลมาก ทุกส่วนมีข้อมูลประมาณ $25\%$ เท่ากัน

ลองทำดู

ข้อ 1

ข้อใดเป็นคำถามทางสถิติ

ข้อ 2

ในแผนภูมิรูปวงกลม ส่วนที่คิดเป็นร้อยละ 30 ของทั้งหมดต้องใช้มุมกี่องศา

ข้อ 3

ต้องการนำเสนอจำนวนนักท่องเที่ยวของจังหวัดหนึ่งในแต่ละปี ตั้งแต่ปี 2560 ถึง 2569 ให้เห็นแนวโน้ม ควรใช้การนำเสนอแบบใด

ข้อ 4

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 4, 7, 9, 10 และ 15 เท่ากับเท่าไร

ข้อ 5

มัธยฐานของข้อมูล 12, 5, 8, 20, 3, 9 เท่ากับเท่าไร

ข้อ 6

ข้อมูล 5 ตัวมีค่าเฉลี่ย 12 เมื่อเพิ่มข้อมูลอีก 1 ตัว ค่าเฉลี่ยกลายเป็น 13 ข้อมูลที่เพิ่มเข้ามามีค่าเท่าไร

ข้อ 7

ต้องการตัวแทนราคาบ้านในหมู่บ้านที่มีคฤหาสน์ราคาสูงมากอยู่หลังหนึ่ง ควรใช้ค่ากลางแบบใด

ข้อ 8

ข้อมูล 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 มี Q1 เท่ากับเท่าไร

ข้อ 9

แผนภาพกล่องมีค่าต่ำสุด 20,

Q_1 = 35

Q_2 = 40

Q_3 = 50

และค่าสูงสุด 90 ข้อใดถูกต้อง

ข้อ 10

ข้อมูลชุดหนึ่งมี

Q_1 = 20

และ

Q_3 = 30

ข้อมูลค่า 48 เป็นค่านอกเกณฑ์หรือไม่

สรุป

กระบวนการทางสถิติ ตั้งคำถาม เก็บข้อมูล วิเคราะห์ แปลความหมาย คำถามทางสถิติต้องมีคำตอบหลากหลาย
ม.1 แผนภูมิรูปภาพและแผนภูมิแท่งเปรียบเทียบจำนวน กราฟเส้นดูแนวโน้มตามเวลา แผนภูมิรูปวงกลมดูส่วนย่อยของทั้งหมด (มุม = สัดส่วน $\times 360^\circ$ )
ม.2 แผนภาพจุด แผนภาพต้น-ใบ ฮิสโทแกรม และค่ากลาง ค่าเฉลี่ย $\frac{\sum x}{N}$ มัธยฐานตำแหน่ง $\frac{N + 1}{2}$ ฐานนิยมคือค่าที่ซ้ำบ่อยที่สุด
มีค่าผิดปกติให้ใช้มัธยฐาน ข้อมูลเชิงคุณภาพให้ใช้ฐานนิยม
ม.3 ควอร์ไทล์แบ่งข้อมูลเป็น 4 ส่วน แผนภาพกล่องใช้ค่าต่ำสุด $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ ค่าสูงสุด ทุกส่วนมีข้อมูลประมาณ $25\%$
ค่านอกเกณฑ์ คือค่าที่ต่ำกว่า $Q_1 - 1.5(Q_3 - Q_1)$ หรือสูงกว่า $Q_3 + 1.5(Q_3 - Q_1)$

คำถามที่พบบ่อย

แผนภูมิแท่งต่างจากฮิสโทแกรมยังไง

ค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานเท่ากันได้ไหม

ทำไมบางหนังสือหาควอร์ไทล์ได้คำตอบไม่ตรงกัน

ค่านอกเกณฑ์ต้องตัดทิ้งไหม

สถิติ ม.ปลายเรียนอะไรต่อ

สถิติ ม.ต้น สรุปครบ ม.1–ม.3 แผนภูมิ ค่ากลาง ควอร์ไทล์ และแผนภาพกล่อง

สถิติคืออะไร

คำถามทางสถิติ

การเก็บรวบรวมข้อมูล

นำเสนอข้อมูลด้วยแผนภูมิ (ม.1)

แผนภูมิรูปภาพ

แผนภูมิแท่ง

กราฟเส้น

แผนภูมิรูปวงกลม

เลือกการนำเสนอให้เหมาะกับข้อมูล

แผนภาพจุด (ม.2)

แผนภาพต้น-ใบ (ม.2)

ฮิสโทแกรม (ม.2)

ค่ากลางของข้อมูล (ม.2)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

มัธยฐาน

ฐานนิยม

เลือกใช้ค่ากลางให้เหมาะกับข้อมูล

ควอร์ไทล์ (ม.3)

แผนภาพกล่อง (ม.3)

อ่านแผนภาพกล่อง (ม.3)

เปรียบเทียบข้อมูลสองชุด (ม.3)

ค่านอกเกณฑ์ (ม.3)

ลองทำดู

สรุป

อ่านต่อ

เลขยกกำลัง สรุปครบ สมบัติ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ และการแก้สมการ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สรุปครบ สูตร บทกลับ การพิสูจน์ และโจทย์พร้อมวิธีทำ

การแปรผัน สรุปครบ แปรผันตรง แปรผกผัน และแปรผันเกี่ยวเนื่อง