คณิตศาสตร์ ม.ต้น

วงกลม ม.3 สรุปครบ ทฤษฎีบทวงกลม มุมในส่วนโค้ง คอร์ด และเส้นสัมผัส

สรุปทฤษฎีบทวงกลม ม.3 ครบทุกข้อ มุมที่จุดศูนย์กลาง มุมในส่วนโค้ง มุมในครึ่งวงกลม รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม คอร์ด เส้นสัมผัส พร้อมภาพลากจุดเล่นได้ และสูตรต่อยอดสอบเข้า ม.4

บทวงกลม ม.3 เป็นบทที่มีทฤษฎีบทเยอะที่สุดบทหนึ่ง แต่ถ้าจัดกลุ่มดี ๆ จะเหลือแค่ 3 เรื่องใหญ่ คือ มุม คอร์ด และ เส้นสัมผัส บทความนี้พี่สรุปทุกทฤษฎีบทพร้อมภาพที่ลากจุดเล่นได้จริง ลองลากแล้วดูเองเลยว่าทำไมมุมที่จุดศูนย์กลางถึงเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งเสมอ ท้ายบทมีสูตรต่อยอดสำหรับคนเตรียมสอบเข้า ม.4 ด้วย

ส่วนประกอบของวงกลม

วงกลม คือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และระยะที่เท่ากันนั้นคือ รัศมี กดชื่อแต่ละส่วนด้านล่างเพื่อดูว่าอยู่ตรงไหน

ก่อนเข้าทฤษฎีบท ต้องรู้จักมุมสองแบบนี้ให้แม่น

มุมที่จุดศูนย์กลาง จุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง แขนทั้งสองเป็นรัศมี
มุมในส่วนโค้ง จุดยอดอยู่บนวงกลม แขนทั้งสองเป็นคอร์ด
ส่วนโค้งที่อยู่ "ระหว่างแขน" ของมุม เรียกว่าส่วนโค้งที่ รองรับ มุมนั้น

มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้ง

ส่วนโค้งเท่ากัน มุมที่จุดศูนย์กลางก็เท่ากัน

ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะเท่ากัน และกลับกันก็จริง เหมือนการตัดพิซซ่าให้ขอบยาวเท่ากัน มุมแหลมตรงกลางของแต่ละชิ้นก็ต้องเท่ากันด้วย

มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้ง

ทฤษฎีบทที่ใช้บ่อยที่สุดของบทนี้ ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางกับมุมในส่วนโค้ง รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

A\hat{O}B = 2 \times A\hat{C}B

ลองลากจุด C ไปตามวงกลม มุมในส่วนโค้งจะไม่เปลี่ยนเลย ตราบใดที่ C ยังอยู่ฝั่งเดิม แล้วลองลาก A หรือ B ดูว่ามุมทั้งสองเปลี่ยนไปพร้อมกันเป็นสองเท่าเสมอ

ถ้าลาก C ลงไปอยู่บนส่วนโค้งด้านล่าง ส่วนโค้งที่รองรับจะกลายเป็นส่วนโค้งด้านบน และมุมที่จุดศูนย์กลางที่คู่กันจะเป็น มุมกลับ (มากกว่า $180^\circ$ ) ความสัมพันธ์สองเท่ายังจริงเหมือนเดิม

ตัวอย่างที่ 1 (มุมที่จุดศูนย์กลาง)

วงกลมมีจุดศูนย์กลาง O ถ้า

A\hat{O}B = 110^\circ

และ C เป็นจุดบนส่วนโค้งใหญ่ จงหา

A\hat{C}B

1
มุมทั้งสองรองรับด้วยส่วนโค้ง AB เดียวกัน
$A\hat{O}B = 2 \times A\hat{C}B$
2
แทนค่า
$A\hat{C}B = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

ตัวอย่างที่ 2 (มุมกลับ)

C อยู่บนส่วนโค้งเล็ก AB และ

A\hat{C}B = 130^\circ

จงหามุม

A\hat{O}B

ที่ไม่ใช่มุมกลับ

1
C อยู่ส่วนโค้งเล็ก มุมนี้จึงรองรับด้วยส่วนโค้งใหญ่ มุมที่จุดศูนย์กลางที่คู่กันเป็นมุมกลับ
$\text{มุมกลับ } A\hat{O}B = 2 \times 130^\circ = 260^\circ$
2
มุมรอบจุดรวมกันได้ $360^\circ$
$A\hat{O}B = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$

มุมในส่วนโค้งเดียวกันเท่ากัน

มุมในส่วนโค้งทุกมุมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน เพราะทุกมุมเป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลางมุมเดียวกัน ลองลาก D ให้อยู่ฝั่งเดียวกับ C แล้วลากไปอยู่อีกฝั่งดู

การที่ D ข้ามไปอีกฝั่งแล้วมุมรวมกันได้ $180^\circ$ คือที่มาของทฤษฎีบทรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมในหัวข้อถัดไป

มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก

ถ้า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุมที่จุดศูนย์กลางจะเป็นมุมตรง $180^\circ$ มุมในส่วนโค้งจึงเป็นครึ่งหนึ่ง คือ $90^\circ$ เสมอ ไม่ว่า C จะอยู่ตรงไหนบนวงกลม

ตัวอย่างที่ 3 (มุมในครึ่งวงกลม)

AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จุด C อยู่บนวงกลม โดย

AC = 6

และ

BC = 8

หน่วย จงหารัศมีของวงกลม

1
มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก
$A\hat{C}B = 90^\circ$
2
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$
3
รัศมีเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง
$r = \frac{10}{2} = 5$

ทฤษฎีบทนี้ใช้ในชีวิตจริงได้ด้วย ช่างไม้ที่อยากหาจุดศูนย์กลางของโต๊ะกลม จะวางมุมฉากของไม้ฉากให้แตะขอบโต๊ะ จุดที่แขนไม้ฉากตัดขอบโต๊ะสองจุดคือปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง ทำซ้ำอีกครั้งในอีกทิศ เส้นผ่านศูนย์กลางสองเส้นตัดกันที่จุดศูนย์กลางพอดี

รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

รูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอด ทั้งสี่จุด อยู่บนวงกลมเดียวกัน เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม มุมตรงข้ามจะรวมกันได้ $180^\circ$ เสมอ

\hat{A} + \hat{C} = 180^\circ \qquad \hat{B} + \hat{D} = 180^\circ

ผลที่ตามมาคือ มุมภายนอกของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม เท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม เพราะมุมภายนอกกับมุมภายในที่ติดกันรวมกันได้ $180^\circ$ เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 4 (หามุมตรงข้าม)

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม โดย

\hat{A} = 2x + 10^\circ

และ

\hat{C} = 3x - 5^\circ

จงหาขนาดของมุม A และมุม C

1
มุมตรงข้ามรวมกันได้ $180^\circ$
$(2x + 10) + (3x - 5) = 180$
2
แก้สมการ
$5x + 5 = 180 \;\Rightarrow\; x = 35$
3
แทนค่า
$\hat{A} = 80^\circ,\; \hat{C} = 100^\circ$

คอร์ด

เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งคอร์ด

ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางมา ตั้งฉาก กับคอร์ด จะ แบ่งครึ่ง คอร์ดนั้น
กลับกัน เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางไป แบ่งครึ่ง คอร์ด (ที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง) จะ ตั้งฉาก กับคอร์ด
เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉาก กับคอร์ด จะผ่านจุดศูนย์กลางเสมอ

พอมีมุมฉาก ก็มีสามเหลี่ยมมุมฉาก OMA ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดย $d$ คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงคอร์ด

r^2 = d^2 + \left(\frac{\text{ความยาวคอร์ด}}{2}\right)^2

ตัวอย่างที่ 5 (ระยะจากจุดศูนย์กลาง)

วงกลมรัศมี 13 เซนติเมตร มีคอร์ดยาว 24 เซนติเมตร คอร์ดนี้อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่าไร

1
เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งคอร์ด
$AM = \frac{24}{2} = 12$
2
สามเหลี่ยม OMA เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
$d = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5$

ตัวอย่างที่ 6 (น้ำในท่อ)

ท่อน้ำทรงกระบอกมีรัศมีภายใน 10 เซนติเมตร วางนอนอยู่และมีน้ำลึก 4 เซนติเมตร ผิวน้ำกว้างเท่าไร

1
ผิวน้ำคือคอร์ด ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงผิวน้ำเท่ากับรัศมีลบความลึก
$d = 10 - 4 = 6$
2
หาครึ่งหนึ่งของความกว้าง
$\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$
3
ผิวน้ำกว้างเป็นสองเท่า
$2 \times 8 = 16$

คอร์ดยาวเท่ากัน อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

ในวงกลมเดียวกัน คอร์ดที่ยาวเท่ากันจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน และคอร์ดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากันก็ยาวเท่ากัน คอร์ดยิ่งยาว ยิ่งอยู่ใกล้จุดศูนย์กลาง

เส้นสัมผัสวงกลม

เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี และยาวเท่ากัน

เส้นสัมผัสมีทฤษฎีบทหลัก 3 ข้อ ที่มักใช้พร้อมกัน

เส้นสัมผัส ตั้งฉากกับรัศมี ที่จุดสัมผัส
ลากเส้นสัมผัสจากจุด P ภายนอกวงกลมได้ 2 เส้น ส่วนของเส้นสัมผัสทั้งสอง ยาวเท่ากัน $PT_1 = PT_2$
เส้นตรง OP แบ่งครึ่งมุม ระหว่างเส้นสัมผัสทั้งสอง

ตัวอย่างที่ 7 (หารัศมีจากเส้นสัมผัส)

จุด P อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม 10 เซนติเมตร เส้นสัมผัสจาก P ยาว 8 เซนติเมตร จงหารัศมีของวงกลม

1
รัศมีตั้งฉากกับเส้นสัมผัส จึงได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มี OP เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
$r^2 + 8^2 = 10^2$
2
แก้สมการ
$r = \sqrt{100 - 64} = 6$

ตัวอย่างที่ 8 (วงกลมแนบในสามเหลี่ยม)

วงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC สัมผัสด้าน AB, BC, CA ที่จุด F, D, E ตามลำดับ ถ้า

AB = 7

BC = 8

และ

CA = 9

จงหา AF

1
เส้นสัมผัสจากจุดเดียวกันยาวเท่ากัน ให้ $AF = AE = x$ , $BF = BD = y$ , $CD = CE = z$
$x + y = 7,\; y + z = 8,\; x + z = 9$
2
บวกทั้งสามสมการ
$2(x + y + z) = 24 \;\Rightarrow\; x + y + z = 12$
3
ลบด้วย $y + z = 8$
$x = 12 - 8 = 4$

มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด

มุมที่เส้นสัมผัสทำกับคอร์ด ณ จุดสัมผัส เท่ากับมุมในส่วนโค้งที่อยู่ อีกฝั่งหนึ่ง ของคอร์ด ทฤษฎีบทนี้คือกรณีสุดขอบของมุมในส่วนโค้ง เหมือนจุดยอดมุมเลื่อนมาชนจุด A จนแขนข้างหนึ่งกลายเป็นเส้นสัมผัส

ตัวอย่างที่ 9 (เส้นสัมผัสกับคอร์ด)

เส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A ทำมุม

65^\circ

กับคอร์ด AB จงหามุมในส่วนโค้ง ACB เมื่อ C อยู่อีกฝั่งหนึ่งของคอร์ด และหามุมที่จุดศูนย์กลาง AOB

1
มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ดเท่ากับมุมในส่วนโค้งฝั่งตรงข้าม
$A\hat{C}B = 65^\circ$
2
มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่า
$A\hat{O}B = 2 \times 65^\circ = 130^\circ$

ต่อยอดสอบเข้า ม.4

หัวข้อนี้ไม่อยู่ในหนังสือ ม.3 โดยตรง แต่เจอบ่อยในข้อสอบเข้า ม.4 ของโรงเรียนดัง ๆ

คอร์ดตัดกัน และเส้นตัดจากจุดภายนอก

ลากเส้นตรงสองเส้นผ่านจุด P ให้ตัดวงกลม ผลคูณของระยะจาก P ถึงจุดตัดทั้งสองจุดของแต่ละเส้นจะเท่ากันเสมอ

ตำแหน่งของ P	ความสัมพันธ์
ในวงกลม (คอร์ดตัดกัน)	$PA \cdot PB = PC \cdot PD$
นอกวงกลม (เส้นตัดสองเส้น)	$PA \cdot PB = PC \cdot PD$
นอกวงกลม (เส้นสัมผัส PT)	$PT^2 = PA \cdot PB$

ตัวอย่างที่ 10 (คอร์ดตัดกัน)

คอร์ด AB และ CD ตัดกันที่จุด E ภายในวงกลม ถ้า

AE = 4

EB = 6

และ

CE = 3

จงหา ED

1
ผลคูณของส่วนของคอร์ดเท่ากัน
$AE \cdot EB = CE \cdot ED$
2
แทนค่า
$4 \times 6 = 3 \times ED \;\Rightarrow\; ED = 8$

ตัวอย่างที่ 11 (เส้นสัมผัสกับเส้นตัด)

จากจุด P นอกวงกลม ลากเส้นตัดวงกลมที่ A และ B โดย

PA = 4

และ

PB = 9

และลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ T จงหา PT

1
ใช้ความสัมพันธ์ของเส้นสัมผัสกับเส้นตัด
$PT^2 = PA \cdot PB = 4 \times 9 = 36$
2
ความยาวเป็นบวก
$PT = 6$

รัศมีของวงกลมแนบในและวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $a$ , $b$ , $c$ และพื้นที่ $K$

r_{\text{แนบใน}} = \frac{2K}{a + b + c} \qquad R_{\text{ล้อมรอบ}} = \frac{abc}{4K}

ตัวอย่างที่ 12 (สามเหลี่ยม 3-4-5)

จงหารัศมีของวงกลมแนบในและวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3, 4 และ 5 หน่วย

1
เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก หาพื้นที่
$K = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$
2
รัศมีวงกลมแนบใน
$r = \frac{2 \times 6}{3 + 4 + 5} = 1$
3
รัศมีวงกลมล้อมรอบ
$R = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5$

สังเกตว่า $R = 2.5$ คือครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากพอดี เพราะมุมฉากเป็นมุมในครึ่งวงกลม ด้านตรงข้ามมุมฉากจึงเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบเสมอ

จุดที่ผิดบ่อย

ใช้ทฤษฎีบทสองเท่ากับมุมที่รองรับคนละส่วนโค้ง ต้องเช็กว่ามุมที่จุดศูนย์กลางกับมุมในส่วนโค้งกางแขนไปหาจุดปลายส่วนโค้งเดียวกัน
ลืมกรณีมุมกลับ ถ้าจุดยอดของมุมในส่วนโค้งอยู่บนส่วนโค้งเล็ก มุมที่จุดศูนย์กลางที่คู่กันจะมากกว่า $180^\circ$
ใช้สมบัติรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมทั้งที่มีจุดยอดไม่อยู่บนวงกลม ต้องอยู่บนวงกลมครบทั้งสี่จุด
ลืมหารสองเวลาหาระยะจากจุดศูนย์กลางถึงคอร์ด ในพีทาโกรัสต้องใช้ครึ่งหนึ่งของคอร์ด
เอาด้านผิดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ในโจทย์เส้นสัมผัส OP คือด้านที่ยาวที่สุด ไม่ใช่เส้นสัมผัส
มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด ต้องเทียบกับมุมในส่วนโค้งฝั่งตรงข้าม ไม่ใช่ฝั่งเดียวกัน

ลองทำดู

ข้อ 1

มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาด

140^\circ

มุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันมีขนาดกี่องศา

ข้อ 2

AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม C เป็นจุดบนวงกลม ถ้า

C\hat{A}B = 35^\circ

แล้ว

A\hat{B}C

มีขนาดกี่องศา

ข้อ 3

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ถ้า

\hat{B} = 108^\circ

แล้ว

\hat{D}

มีขนาดกี่องศา

ข้อ 4

วงกลมรัศมี 10 หน่วย มีคอร์ดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 8 หน่วย คอร์ดนี้ยาวกี่หน่วย

ข้อ 5

จุด P อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี 8 หน่วย เป็นระยะ 17 หน่วย เส้นสัมผัสจาก P ยาวกี่หน่วย

ข้อ 6

เส้นสัมผัสที่จุด A ทำมุม

48^\circ

กับคอร์ด AB มุมในส่วนโค้ง ACB ที่อยู่อีกฝั่งของคอร์ดมีขนาดเท่าใด

ข้อ 7

คอร์ด AB และ CD ตัดกันที่ E ภายในวงกลม ถ้า

AE = 3

EB = 8

และ

CE = 4

แล้ว ED ยาวกี่หน่วย

ข้อ 8

รัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 6, 8 และ 10 หน่วย ยาวกี่หน่วย

สรุป

เรื่อง	สิ่งที่ต้องจำ
มุมที่จุดศูนย์กลาง	เป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
มุมในส่วนโค้ง	ส่วนโค้งเดียวกันมุมเท่ากัน มุมในครึ่งวงกลมเป็น $90^\circ$
สี่เหลี่ยมแนบในวงกลม	มุมตรงข้ามรวมกัน $180^\circ$
คอร์ด	เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งคอร์ด คอร์ดยาวเท่ากันห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
เส้นสัมผัส	ตั้งฉากกับรัศมี จากจุดภายนอกยาวเท่ากัน
เส้นสัมผัสกับคอร์ด	มุมเท่ากับมุมในส่วนโค้งฝั่งตรงข้าม

เกือบทุกโจทย์คอร์ดและเส้นสัมผัสจบด้วย ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ให้มองหามุมฉากก่อนเสมอ
สอบเข้า ม.4 ให้จำเพิ่ม $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ และ $PT^2 = PA \cdot PB$

คำถามที่พบบ่อย

มุมในส่วนโค้งกับมุมที่เส้นรอบวงเหมือนกันไหม

ทำไมมุมในครึ่งวงกลมถึงเป็น 90 องศาเสมอ

รู้ได้อย่างไรว่ารูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมได้

ทฤษฎีบทพีโตเลมีคืออะไร ต้องใช้ไหม

บทนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องอะไรก่อน