คณิตศาสตร์ ม.ต้น

ความน่าจะเป็น ม.3 สรุปครบ การทดลองสุ่ม เหตุการณ์ สูตรความน่าจะเป็น และกฎการนับ

สรุปความน่าจะเป็น ม.3 ครบในบทความเดียว การทดลองสุ่ม ผลลัพธ์ เหตุการณ์ สูตร P(E) = n(E)/n(S) ตาราง แผนภาพต้นไม้ หยิบใส่คืน-ไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นจากการทดลอง และกฎการนับสำหรับสอบเข้า ม.4 พร้อมภาพให้กดเล่น

ความน่าจะเป็นเป็นบทที่มีแนวคิดหลักไม่กี่ข้อ แต่ใช้ได้กับสถานการณ์เยอะมาก ตั้งแต่โยนเหรียญ ทอดลูกเต๋า จับฉลาก ไปจนถึงหยิบลูกอมจากโหล บทความนี้พี่สรุปแนวคิดของ ม.3 ให้ครบ แล้วตามด้วยตัวอย่างจากสถานการณ์ต่าง ๆ แบบจัดเต็ม ทุกหัวข้อมีภาพให้กดเล่น ทั้งตารางผลลัพธ์ แผนภาพต้นไม้ และเครื่องทดลองสุ่มที่กดได้เป็นร้อยครั้ง ท้ายบทมีกฎการนับสำหรับคนเตรียมสอบเข้า ม.4 ด้วย

โอกาสของเหตุการณ์

ในชีวิตประจำวันเราพูดถึง "โอกาส" กันบ่อย ๆ เช่น พรุ่งนี้ฝนน่าจะตก หรือทีมนี้มีโอกาสชนะน้อย ในคณิตศาสตร์เราแบ่งเหตุการณ์ตามโอกาสที่จะเกิดได้ 3 แบบ

เกิดขึ้นแน่นอน เช่น ทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มน้อยกว่า 7
อาจเกิดหรือไม่เกิดก็ได้ เช่น โยนเหรียญแล้วออกหัว
เป็นไปไม่ได้ เช่น ทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้ม 7

ความน่าจะเป็นคือการบอกโอกาสนี้ออกมาเป็น ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1 ยิ่งใกล้ 1 ยิ่งมีโอกาสเกิดมาก ลองกดแต่ละสถานการณ์ด้านล่าง ดูว่าอยู่ตรงไหนบนเส้น

ความน่าจะเป็น 0 คือเป็นไปไม่ได้ 1 คือเกิดขึ้นแน่นอน และ

\frac{1}{2}

คือโอกาสเกิดกับไม่เกิดเท่ากัน

การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม คือการกระทำที่เรารู้ว่าผลจะออกมาเป็นอะไรได้บ้าง แต่บอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าครั้งนี้จะออกอะไร ผลแต่ละแบบที่อาจเกิดขึ้นเรียกว่า ผลลัพธ์

สถานการณ์	การทดลองสุ่ม?	ผลลัพธ์ที่อาจเกิด
หมุนวงล้อ 4 สี	ใช่	แดง เหลือง เขียว ฟ้า
จับสลากเลือกหัวหน้าห้องจาก 3 คน	ใช่	ต้น ฝน หรือปาล์ม
ทอดลูกเต๋า 1 ลูก	ใช่	1, 2, 3, 4, 5, 6
กด $2 + 3$ บนเครื่องคิดเลข	ไม่ใช่	ได้ 5 ทุกครั้ง
ปล่อยลูกบอลจากมือ	ไม่ใช่	ตกลงพื้นทุกครั้ง

ในบทนี้เราสนใจการทดลองสุ่มที่ ผลลัพธ์แต่ละแบบมีโอกาสเกิดเท่า ๆ กัน เช่น เหรียญที่ไม่ถ่วงน้ำหนัก หรือลูกเต๋าที่เที่ยงตรง จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเขียนแทนด้วย $n(S)$

วิธีหาผลลัพธ์ทั้งหมด

ขั้นตอนที่สำคัญที่สุดของบทนี้คือ นับผลลัพธ์ทั้งหมดให้ครบและไม่ซ้ำ มีวิธีหลัก ๆ 3 วิธี

แจกแจงตรง ๆ เหมาะกับการทดลองขั้นเดียว เช่น ทอดลูกเต๋า 1 ลูก ได้ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
ตาราง เหมาะกับการทดลอง 2 ขั้น เช่น ทอดลูกเต๋า 2 ลูก
แผนภาพต้นไม้ เหมาะกับการทดลองหลายขั้น เช่น โยนเหรียญ 3 ครั้ง

ใช้ตาราง: ทอดลูกเต๋า 2 ลูก

ให้ลูกเต๋าลูกหนึ่งเป็นสีแดง อีกลูกเป็นสีน้ำเงิน แถวคือแต้มของลูกแดง หลักคือแต้มของลูกน้ำเงิน ทุกช่องคือผลลัพธ์หนึ่งแบบ จึงมีผลลัพธ์ทั้งหมด $6 \times 6 = 36$ แบบ

สังเกตว่า $(1, 2)$ กับ $(2, 1)$ เป็น คนละผลลัพธ์ เพราะแบบแรกลูกแดงได้ 1 แต่แบบหลังลูกแดงได้ 2 ถึงลูกเต๋าจะสีเหมือนกัน ก็ต้องนับแยกเหมือนเดิม

แถว: ลูกแดง · หลัก: ลูกน้ำเงิน · ในช่อง = ผลรวม

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

กดที่ช่องเพื่อเลือกผลลัพธ์เอง

ผลลัพธ์ทั้งหมด $\displaystyle n(S) = 6 \times 6 = 36$
ผลรวมเป็น 7 $\displaystyle E = \{(1, 6),\ (2, 5),\ (3, 4),$ $\displaystyle (4, 3),\ (5, 2),\ (6, 1)\}$ $\displaystyle n(E) = 6$
ความน่าจะเป็น $\displaystyle P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.17$

P(E)0.17

ตัวเลขในช่องคือผลรวมของแต้ม กดเลือกเหตุการณ์ด้านบน หรือกดที่ช่องเพื่อเลือกผลลัพธ์เอง

ใช้แผนภาพต้นไม้: โยนเหรียญ 3 ครั้ง

โยนครั้งแรกได้ 2 แบบ (H = หัว, T = ก้อย) แต่ละแบบแตกกิ่งต่อได้อีก 2 แบบในครั้งที่สอง และอีก 2 แบบในครั้งที่สาม ผลลัพธ์ทั้งหมดจึงมี $2 \times 2 \times 2 = 8$ แบบ กดแตกกิ่งทีละขั้นดูได้เลย

ขั้นที่ 1 $\displaystyle 2 \text{ กิ่ง}$

แต่ละเส้นทางจากซ้ายไปขวาคือผลลัพธ์หนึ่งแบบ เช่น HTH คือ หัว ก้อย หัว

แผนภาพเดียวกันนี้ใช้กับสถานการณ์อื่นที่มี 2 ทางเลือก 3 ขั้นได้ทันที เช่น ครอบครัวที่มีลูก 3 คน แต่ละคนเป็นลูกชายหรือลูกสาว หรือตอบข้อสอบถูกผิด 3 ข้อแบบเดาทุกข้อ

หยิบของ: ใส่คืน ไม่ใส่คืน หรือหยิบพร้อมกัน

โจทย์หยิบลูกบอลเป็นจุดที่นักเรียนพลาดบ่อยที่สุด ให้ถุงมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก และสีฟ้า 1 ลูก

ข้อควรระวังแรกคือ ลูกบอลสีเดียวกัน ต้องติดเลขแยกเป็นคนละลูก ( $\text{ด}_1$ , $\text{ด}_2$ ) เพราะแต่ละลูกมีโอกาสถูกหยิบเท่ากัน ถ้านับรวมเป็น "แดง" แบบเดียว ผลลัพธ์จะมีโอกาสไม่เท่ากันและสูตรใช้ไม่ได้

ผลลัพธ์ทั้งหมด $\displaystyle n(S) = 3 \times 3 = 9$
ได้สีเดียวกัน $\displaystyle E = \{\text{ด}_{1}\text{ด}_{1},\ \text{ด}_{1}\text{ด}_{2},\ \text{ด}_{2}\text{ด}_{1},\ \text{ด}_{2}\text{ด}_{2},$ $\displaystyle \text{ฟ}\text{ฟ}\}$ $\displaystyle n(E) = 5$
ความน่าจะเป็น $\displaystyle P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{9} \approx 0.56$

P(E)0.56

กดที่ผลลัพธ์ทางขวาเพื่อเลือกเอง

สลับ "ใส่คืน" กับ "ไม่ใส่คืน" แล้วดูว่าจำนวนผลลัพธ์และความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปอย่างไร

วิธีหยิบ 2 ลูก	ลำดับสำคัญไหม	ผลลัพธ์ทั้งหมด
ทีละลูก ใส่คืน	สำคัญ	$3 \times 3 = 9$
ทีละลูก ไม่ใส่คืน	สำคัญ	$3 \times 2 = 6$
หยิบพร้อมกัน	ไม่สำคัญ	$3$

หยิบพร้อมกันได้ผลลัพธ์แค่ $\{\text{ด}_1, \text{ด}_2\}$ , $\{\text{ด}_1, \text{ฟ}\}$ , $\{\text{ด}_2, \text{ฟ}\}$ เพราะหยิบขึ้นมาในมือพร้อมกันจึงไม่มีลูกแรกลูกหลัง

เหตุการณ์

เหตุการณ์ คือผลลัพธ์ส่วนที่เราสนใจ เช่น "ผลรวมเป็น 8" หรือ "ออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง" จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ $E$ เขียนแทนด้วย $n(E)$

ตัวอย่างที่ 1 (หาเหตุการณ์จากตาราง)

ทอดลูกเต๋า 2 ลูก จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 8

1
ไล่แต้มลูกแรกจาก 1 ถึง 6 แล้วดูว่าลูกที่สองต้องได้เท่าไร ลูกแรกได้ 1 ลูกที่สองต้องได้ 7 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
$1 + 7 \;\text{(ไม่ได้)}$
2
ลูกแรกได้ 2 ถึง 6 ใช้ได้ทุกแบบ
$E = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$
3
นับจำนวน
$n(E) = 5$

การทดลองแต่ละขั้นไม่จำเป็นต้องเป็นของชนิดเดียวกัน เช่น โยนเหรียญ 1 เหรียญพร้อมกับทอดลูกเต๋า 1 ลูก ก็เขียนเป็นตารางได้เหมือนกัน

แถว: เหรียญ · หลัก: ลูกเต๋า

	1	2	3	4	5	6
H	H,1	H,2	H,3	H,4	H,5	H,6
T	T,1	T,2	T,3	T,4	T,5	T,6

กดที่ช่องเพื่อเลือกผลลัพธ์เอง

ผลลัพธ์ทั้งหมด $\displaystyle n(S) = 2 \times 6 = 12$
ออกหัวและแต้มคู่ $\displaystyle E = \{(\text{H}, 2),\ (\text{H}, 4),\ (\text{H}, 6)\}$ $\displaystyle n(E) = 3$
ความน่าจะเป็น $\displaystyle P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$

P(E)0.25

ผลลัพธ์ทั้งหมด

2 \times 6 = 12

แบบ ช่อง H,4 หมายถึงเหรียญออกหัวและลูกเต๋าได้ 4

ความน่าจะเป็น

เมื่อผลลัพธ์ทุกแบบมีโอกาสเกิดเท่า ๆ กัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $E$ คือ

P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}

เศษคือจำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่สนใจ ส่วนคือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

สมบัติของความน่าจะเป็น

$0 \le P(E) \le 1$ เสมอ เพราะ $n(E)$ ไม่มีทางมากกว่า $n(S)$
$P(E) = 0$ เมื่อ $E$ เป็นไปไม่ได้ และ $P(E) = 1$ เมื่อ $E$ เกิดขึ้นแน่นอน
$E'$ คือเหตุการณ์ที่ $E$ ไม่เกิด และ $P(E') = 1 - P(E)$

ลองกับโหลลูกอมด้านล่าง กดชื่อรสเพื่อเลือกว่ารสไหนนับเป็นเหตุการณ์ที่สนใจ กด − + เพื่อเปลี่ยนจำนวนลูกอม แล้วกดสุ่มหยิบดู

ทั้งหมด $\displaystyle n(S) = 5 + 3 + 2 = 10$
ได้รสสตรอว์เบอร์รี $\displaystyle n(E) = 5$
ความน่าจะเป็น $\displaystyle P(E) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5$

P(E)0.5

ลูกอมที่นับเป็นเหตุการณ์ที่สนใจจะเข้ม ลูกอมที่ไม่นับจะจาง ลองเพิ่มลูกอมรสอื่นแล้วดูว่าความน่าจะเป็นลดลงอย่างไร

ตัวอย่างที่ 2 (ลูกอมในโหล)

โหลมีลูกอมรสสตรอว์เบอร์รี 5 เม็ด รสมิ้นต์ 3 เม็ด รสมะนาว 2 เม็ด หยิบมา 1 เม็ด จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกอมที่ไม่ใช่รสสตรอว์เบอร์รี

1
ผลลัพธ์ทั้งหมด
$n(S) = 5 + 3 + 2 = 10$
2
ลูกอมที่ไม่ใช่รสสตรอว์เบอร์รี
$n(E) = 3 + 2 = 5$
3
แทนสูตร
$P(E) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

ตัวอย่างที่ 3 (ทอดลูกเต๋า 2 ลูก)

ทอดลูกเต๋า 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 9

1
ผลลัพธ์ทั้งหมด
$n(S) = 6 \times 6 = 36$
2
ผลรวม 10, 11 และ 12
$E = \{(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)\}$
3
แทนสูตร
$P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

ตัวอย่างที่ 4 (จับฉลาก)

ในกล่องมีฉลากหมายเลข 1 ถึง 20 จับมา 1 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หมายเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะ

1
ผลลัพธ์ทั้งหมด
$n(S) = 20$
2
จำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน 20
$E = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\},\; n(E) = 8$
3
แทนสูตร
$P(E) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

ใช้เหตุการณ์ตรงข้าม เมื่อเจอคำว่า "อย่างน้อย"

ถ้าโจทย์ถามว่า "อย่างน้อย 1" มักนับฝั่งที่ไม่ต้องการได้ง่ายกว่า แล้วเอาไปลบออกจาก 1

ตัวอย่างที่ 5 (ลูก 3 คน)

ครอบครัวหนึ่งมีลูก 3 คน ถ้าลูกแต่ละคนมีโอกาสเป็นชายหรือหญิงเท่ากัน จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน

1
ผลลัพธ์ทั้งหมด ใช้แผนภาพต้นไม้แบบเดียวกับโยนเหรียญ 3 ครั้ง
$n(S) = 2 \times 2 \times 2 = 8$
2
เหตุการณ์ตรงข้ามคือไม่มีลูกสาวเลย มีแบบเดียวคือ ชาย ชาย ชาย
$P(E') = \frac{1}{8}$
3
ลบออกจาก 1
$P(E) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

หยิบของหลายชิ้น

ตัวอย่างที่ 6 (ถุงเท้าในลิ้นชัก)

ในลิ้นชักมีถุงเท้าสีขาว 2 ข้าง สีดำ 2 ข้าง หยิบทีละข้าง 2 ครั้งโดยไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าสีเดียวกัน

1
ติดเลขให้ถุงเท้าทุกข้าง หยิบครั้งแรกได้ 4 แบบ ครั้งที่สองเหลือ 3 แบบ
$n(S) = 4 \times 3 = 12$
2
ได้ขาวทั้งคู่ 2 แบบ และดำทั้งคู่ 2 แบบ
$n(E) = 2 + 2 = 4$
3
แทนสูตร
$P(E) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

ผลลัพธ์ทั้งหมด $\displaystyle n(S) = 4 \times 3 = 12$
ได้สีเดียวกัน $\displaystyle E = \{\text{ข}_{1}\text{ข}_{2},\ \text{ข}_{2}\text{ข}_{1},\ \text{ด}_{1}\text{ด}_{2},\ \text{ด}_{2}\text{ด}_{1}\}$ $\displaystyle n(E) = 4$
ความน่าจะเป็น $\displaystyle P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0.33$

P(E)0.33

กดที่ผลลัพธ์ทางขวาเพื่อเลือกเอง

แผนภาพต้นไม้ของตัวอย่างที่ 6 สังเกตว่าข้างที่หยิบไปแล้วจะไม่อยู่ในกิ่งถัดไป

กฎการนับเบื้องต้น (ต่อยอดสอบเข้า ม.4)

เมื่อผลลัพธ์มีเป็นร้อยเป็นพันแบบ การเขียนแจกแจงหรือวาดต้นไม้ไม่ไหวแล้ว เราต้องใช้ กฎการนับ หาจำนวน $n(S)$ และ $n(E)$ แทน

กฎการคูณ

ถ้างานหนึ่งแบ่งเป็นหลาย ขั้นตอน ที่ต้องทำต่อกัน ขั้นแรกทำได้ $n_1$ วิธี ขั้นที่สองทำได้ $n_2$ วิธี และต่อไปเรื่อย ๆ จำนวนวิธีทั้งหมดคือ

n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdots

ผลลัพธ์ทั้งหมด $\displaystyle n(S) = 3 \times 2 = 6$

มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 2 ตัว แต่งตัวได้

3 \times 2 = 6

แบบ

ตัวอย่างที่ 7 (รหัสกระเป๋า)

กุญแจรหัสกระเป๋าเดินทางมี 3 หลัก แต่ละหลักเป็นเลข 0 ถึง 9 ถ้าเดารหัสแบบสุ่ม 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะเปิดได้

1
แต่ละหลักเลือกได้ 10 แบบ และซ้ำกันได้
$n(S) = 10 \times 10 \times 10 = 1000$
2
รหัสที่ถูกมีแบบเดียว
$P(E) = \frac{1}{1000}$

ตัวอย่างที่ 8 (สร้างจำนวนสามหลัก)

นำเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 มาสร้างจำนวนสามหลักโดยเลขโดดไม่ซ้ำกัน ถ้าสุ่มจำนวนที่สร้างได้มา 1 จำนวน จงหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นจำนวนคู่

1
จำนวนทั้งหมด เลือกหลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วยโดยไม่ซ้ำ
$n(S) = 5 \times 4 \times 3 = 60$
2
จำนวนคู่ต้องลงท้ายด้วย 2 หรือ 4 ให้เลือกหลักหน่วยก่อน แล้วค่อยเลือกอีก 2 หลักจากเลขที่เหลือ
$n(E) = 2 \times 4 \times 3 = 24$
3
แทนสูตร
$P(E) = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$

เทคนิคในตัวอย่างนี้คือ เลือกตำแหน่งที่มีเงื่อนไขก่อนเสมอ ถ้าไปเลือกหลักร้อยก่อน จะไม่รู้ว่าเหลือเลขคู่ให้หลักหน่วยกี่ตัว

กฎการบวก

ถ้างานหนึ่งแยกเป็นหลาย กรณี ที่ไม่ซ้อนกัน ทำกรณีใดกรณีหนึ่งก็พอ จำนวนวิธีทั้งหมดคือผลบวกของแต่ละกรณี

n_1 + n_2 + n_3 + \cdots

ถ้ากรณีมีส่วนที่ซ้อนกัน ต้องลบส่วนที่นับซ้ำออก

ตัวอย่างที่ 9 (หารลงตัว)

สุ่มจำนวนนับ 1 จำนวนจาก 1 ถึง 30 จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นหารด้วย 3 หรือ 5 ลงตัว

1
หารด้วย 3 ลงตัว
$3, 6, 9, \ldots, 30 \;\Rightarrow\; 10 \text{ จำนวน}$
2
หารด้วย 5 ลงตัว
$5, 10, 15, \ldots, 30 \;\Rightarrow\; 6 \text{ จำนวน}$
3
15 และ 30 ถูกนับซ้ำทั้งสองกรณี ต้องลบออก
$n(E) = 10 + 6 - 2 = 14$
4
แทนสูตร
$P(E) = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$

การเรียงสับเปลี่ยน

นำของ $n$ สิ่งที่ต่างกันมาเรียงเป็นแถว ตำแหน่งแรกเลือกได้ $n$ แบบ ตำแหน่งถัดไปเหลือ $n - 1$ แบบ ไปเรื่อย ๆ จนเหลือ 1 แบบ

n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1

กรณี	จำนวนวิธี	ตัวอย่าง
ของต่างกัน $n$ สิ่ง เรียงเป็นแถว	$n!$	หนังสือ 4 เล่ม $4! = 24$
มีของซ้ำ $a$ , $b$ , … ชิ้น	$\frac{n!}{a!\,b!\cdots}$	BANANA $\frac{6!}{3!\,2!} = 60$
เรียงเป็นวงกลม	$(n - 1)!$	5 คนรอบโต๊ะ $4! = 24$

การเรียงเป็นวงกลมลดลงเหลือ $(n - 1)!$ เพราะถ้าทุกคนขยับไปทางขวาพร้อมกัน 1 ที่ ลำดับรอบโต๊ะยังเหมือนเดิม เราจึงให้คนแรกนั่งตรงไหนก็ได้ แล้วค่อยเรียงคนที่เหลือ

การจัดหมู่ (เลือกโดยไม่สนใจลำดับ)

ถ้าเลือกของ $r$ สิ่งจาก $n$ สิ่งแล้ว ลำดับไม่สำคัญ เช่น เลือกตัวแทน 2 คนไปแข่ง หรือหยิบลูกบอลพร้อมกัน ของชุดเดียวกันที่สลับที่กันจะนับเป็นแบบเดียว

มีของ 4 อย่าง: กขคง เลือกมา 2 อย่าง

กขขก

กคคก

กงงก

ขคคข

ขงงข

คงงค

เลือก r = 2

สนใจลำดับ $\displaystyle 4 \times 3 = 12 \text{ แบบ}$
ไม่สนใจลำดับ $\displaystyle \frac{12}{2!} = \binom{4}{2} = 6 \text{ แบบ}$

สลับปุ่ม "สนใจลำดับ" กับ "ไม่สนใจลำดับ" แล้วลองเลื่อน r ดู

จากภาพ เลือก 2 จาก 4 แบบสนใจลำดับได้ $4 \times 3 = 12$ แบบ แต่ทุกชุดสลับที่ได้ $2! = 2$ แบบ ถ้าไม่สนใจลำดับจึงเหลือ $\frac{12}{2} = 6$ แบบ เขียนเป็นสูตรทั่วไปได้ว่า

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}

ตัวอย่างที่ 10 (หยิบลูกบอลพร้อมกัน)

กล่องมีลูกบอลสีแดง 4 ลูก สีฟ้า 3 ลูก หยิบ 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีเดียวกัน

1
เลือก 2 ลูกจาก 7 ลูก
$n(S) = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$
2
แดงทั้งคู่ หรือ ฟ้าทั้งคู่ (กฎการบวก)
$n(E) = \binom{4}{2} + \binom{3}{2} = 6 + 3 = 9$
3
แทนสูตร
$P(E) = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

ตัวอย่างที่ 11 (เลือกคณะกรรมการ)

เลือกกรรมการ 3 คนจากนักเรียนชาย 4 คน หญิง 3 คน จงหาความน่าจะเป็นที่มีนักเรียนหญิงอย่างน้อย 1 คน

1
เลือก 3 คนจาก 7 คน
$n(S) = \binom{7}{3} = 35$
2
เหตุการณ์ตรงข้ามคือเป็นชายทั้ง 3 คน
$n(E') = \binom{4}{3} = 4$
3
ลบออกจาก 1
$P(E) = 1 - \frac{4}{35} = \frac{31}{35}$

จุดที่ผิดบ่อย

ลืมนับ $(1, 2)$ กับ $(2, 1)$ แยกกัน เวลาทอดลูกเต๋า 2 ลูก ผลลัพธ์ทั้งหมดต้องเป็น 36 ไม่ใช่ 21
นับลูกบอลสีเดียวกันเป็นแบบเดียว ต้องติดเลขแยกทุกลูก ไม่อย่างนั้นผลลัพธ์จะมีโอกาสเกิดไม่เท่ากัน
สับสนหยิบทีละลูกกับหยิบพร้อมกัน ทีละลูกใช้กฎการคูณ ลำดับสำคัญ ส่วนหยิบพร้อมกันใช้การจัดหมู่
ได้ความน่าจะเป็นเกิน 1 หรือติดลบ แปลว่านับผิดแน่นอน ย้อนกลับไปตรวจ $n(E)$ กับ $n(S)$
โจทย์ "อย่างน้อย" แต่ไล่นับทุกกรณี ใช้ $P(E) = 1 - P(E')$ เร็วกว่าและพลาดน้อยกว่า
ใช้กฎการบวกแล้วนับซ้ำ ถ้ากรณีซ้อนกัน ต้องลบส่วนที่ซ้อนออก

ลองทำดู

ข้อ 1

โยนเหรียญ 2 เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ออกหัว 1 เหรียญพอดีเท่ากับข้อใด

ข้อ 2

ทอดลูกเต๋า 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเป็นจำนวนเฉพาะเท่ากับเท่าไร (ตอบเป็นทศนิยม)

ข้อ 3

ทอดลูกเต๋า 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของแต้มเป็นจำนวนคี่เท่ากับข้อใด

ข้อ 4

ถุงมีลูกแก้วสีแดง 4 ลูก สีเขียว 5 ลูก สีฟ้า 3 ลูก หยิบมา 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้ลูกที่ไม่ใช่สีเขียวเท่ากับข้อใด

ข้อ 5

ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก หยิบทีละลูก 2 ครั้งโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่ได้สีแดงทั้งสองลูกเท่ากับเท่าไร (ตอบเป็นทศนิยม)

ข้อ 6

โยนเหรียญ 4 เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญเท่ากับข้อใด

ข้อ 7

นักเรียน 5 คนยืนเรียงแถวถ่ายรูป จัดได้ทั้งหมดกี่แบบ

ข้อ 8

ชวนเพื่อน 2 คนจาก 6 คนไปดูหนังด้วยกัน เลือกได้ทั้งหมดกี่แบบ

สรุป

การทดลองสุ่ม คือการกระทำที่รู้ว่าผลเป็นอะไรได้บ้าง แต่บอกล่วงหน้าไม่ได้ ผลแต่ละแบบเรียกว่าผลลัพธ์
หาผลลัพธ์ทั้งหมดด้วยการแจกแจง ตาราง หรือแผนภาพต้นไม้ ต้องนับให้ครบและไม่ซ้ำ
เหตุการณ์ คือผลลัพธ์ส่วนที่สนใจ
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ ใช้ได้เมื่อผลลัพธ์ทุกแบบมีโอกาสเกิดเท่ากัน และ $0 \le P(E) \le 1$
$P(E') = 1 - P(E)$ ใช้กับโจทย์ "อย่างน้อย" ได้สะดวก
ยิ่งทดลองมากครั้ง ความถี่สัมพัทธ์ยิ่งเข้าใกล้ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี
กฎการคูณ ใช้กับงานที่ทำเป็นขั้นตอน กฎการบวก ใช้กับงานที่แยกเป็นกรณี
สนใจลำดับใช้การเรียงสับเปลี่ยน $n!$ ไม่สนใจลำดับใช้การจัดหมู่ $\binom{n}{r}$

คำถามที่พบบ่อย

ความน่าจะเป็นเขียนเป็นร้อยละได้ไหม

ทำไมลูกบอลสีเดียวกันต้องติดเลขแยก

หยิบพร้อมกันกับหยิบทีละลูกไม่ใส่คืน ได้ความน่าจะเป็นต่างกันไหม

โยนเหรียญออกหัวติดกันหลายครั้ง ครั้งต่อไปจะออกก้อยง่ายขึ้นไหม

สอบเข้า ม.4 ออกความน่าจะเป็นแค่ไหน

บทนี้เกี่ยวกับสถิติยังไง